§ 7. Solutions
39
On a utilisé la convergence normale sur [O, 211"] de la série de terme général aprPei(p-n)x pour intervertir
intégration et sommation. On obtient la formule an= r-ncn o l(a) (*).
4) Soit (fp, p E N) une suite d'éléments de l(l3) qui converge, dans C, vers une limite f. Soit n E N. Puisque en
est linéaire continue de norme lien 11 = 1 on a, pourtoutp E N. lcn(f p)- cn(f)I = lcn (f p - J)I ::; Il! p - f 11.
Or la suite (fp, p EN) converge, dans C, vers f, donc la suite ( cn(fp), p EN) converge vers en(!).
Pour p E N, fp E l(l3). Il existe donc une suite aP = (a~, n E N) de 13 telle que fp = l(aP). On sait alors
d'après la question 3 que, pour n E N fixé, a~ = r-ncn(fp). et en faisant tendre p vers +oo, a~ converge
vers r-ncn(f). Or, puisque aP E 13, pour tous net p entiers, la~I ::; 1, donc encore, par passage à la limite
quand p-> oo, lr-ncn(f)I ::; 1.
Finalement, la suite a= (r-ncn(f), n E N) appartient à 13.
On pose ici an = r-ncn(f). On a alors la~ - anl = lr-ncn(fp - f)I ::; llfp - Jll. d'où encore,
llap - ail ::; llfp - fll. La suite (ap, p E N) converge donc vers a, et comme l est continue, la suite
(l(ap), p EN) converge vers l(a), soit encore la suite (f p, p E N) converge vers f = l(a), qui par suite est
élément de l(l3). On peut conclure que l(l3) est un fermé de C.
5) Soit a un élément de S. On pose f = l(a). La dérivée f' de f vérifie, pour tout x E [O, 211"],
lf'(x)I ::; L::=O laninrneinxl ::; llall L:::=O nrn, ce qui donne finalement
llf'll::; (l ~ r) 2 llall ·
Appliquons à f le théorème des accroissements finis entre deux points x et y de [O, 211"]. Nous obtenons
llf(x) - f(y)ll ::; (r/(1 - r)2) llall lx - YI·
Si on suppose de plus que a E 13, llf(x) - f(y)ll ::; (r/(1 - r) 2 ) lx - YI· Ce résultat est donc valable pour
tout élément f de l ( 13) et prouve que la famille des éléments de l ( 13) est uniformément équicontinue.
On vérifie également que l(l3) est borné car si f = l(a) E l(l3), on a 11/11 = Ill( a) li ::; 1/(1 - r). On voit
donc que l(l3) est une partie fermée, bornée, uniformément équicontinue de C, ce qui permet de conclure par
application du théorème d' Ascoli (voir par exemple [T.VIII.3.8)) que l(l3) est compact.
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On a utilisé la convergence normale sur [O, 211"] de la série de terme général aprPei(p-n)x pour intervertir
intégration et sommation. On obtient la formule an= r-ncn o l(a) (*).
4) Soit (fp, p E N) une suite d'éléments de l(l3) qui converge, dans C, vers une limite f. Soit n E N. Puisque en
est linéaire continue de norme lien 11 = 1 on a, pourtoutp E N. lcn(f p)- cn(f)I = lcn (f p - J)I ::; Il! p - f 11.
Or la suite (fp, p EN) converge, dans C, vers f, donc la suite ( cn(fp), p EN) converge vers en(!).
Pour p E N, fp E l(l3). Il existe donc une suite aP = (a~, n E N) de 13 telle que fp = l(aP). On sait alors
d'après la question 3 que, pour n E N fixé, a~ = r-ncn(fp). et en faisant tendre p vers +oo, a~ converge
vers r-ncn(f). Or, puisque aP E 13, pour tous net p entiers, la~I ::; 1, donc encore, par passage à la limite
quand p-> oo, lr-ncn(f)I ::; 1.
Finalement, la suite a= (r-ncn(f), n E N) appartient à 13.
On pose ici an = r-ncn(f). On a alors la~ - anl = lr-ncn(fp - f)I ::; llfp - Jll. d'où encore,
llap - ail ::; llfp - fll. La suite (ap, p E N) converge donc vers a, et comme l est continue, la suite
(l(ap), p EN) converge vers l(a), soit encore la suite (f p, p E N) converge vers f = l(a), qui par suite est
élément de l(l3). On peut conclure que l(l3) est un fermé de C.
5) Soit a un élément de S. On pose f = l(a). La dérivée f' de f vérifie, pour tout x E [O, 211"],
lf'(x)I ::; L::=O laninrneinxl ::; llall L:::=O nrn, ce qui donne finalement
llf'll::; (l ~ r) 2 llall ·
Appliquons à f le théorème des accroissements finis entre deux points x et y de [O, 211"]. Nous obtenons
llf(x) - f(y)ll ::; (r/(1 - r)2) llall lx - YI·
Si on suppose de plus que a E 13, llf(x) - f(y)ll ::; (r/(1 - r) 2 ) lx - YI· Ce résultat est donc valable pour
tout élément f de l ( 13) et prouve que la famille des éléments de l ( 13) est uniformément équicontinue.
On vérifie également que l(l3) est borné car si f = l(a) E l(l3), on a 11/11 = Ill( a) li ::; 1/(1 - r). On voit
donc que l(l3) est une partie fermée, bornée, uniformément équicontinue de C, ce qui permet de conclure par
application du théorème d' Ascoli (voir par exemple [T.VIII.3.8)) que l(l3) est compact.