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Chapitre premier. Applications différentiables
Finalement, quels que soient X et y E n. Il! (x) - f (y) Il ::::: kllx - Yll ( * ).
2) Soit (xn, n E N) une suite dans n convergeant vers a. Étant convergente, cette suite est de Cauchy.
L'inégalité(*) établie dans la question précédente montre que la suite (!(xn), n E N) est de Cauchy dans
l'espace complet F. Elle converge donc. Soit a sa limite. Si maintenant (xn) et (Yn) sont deux suites dans n
convergeant toutes deux vers a, l'inégalité ( *) appliquée, pour tout n E N, à Xn et Yn montre que les suites
(!(xn)) et (!(Yn)) ont la même limite. Ainsi a ne dépend pas du choix de la suite (xn)· On sait (voir par
exemple [T.Vl.1.4.c] que cela implique que fa pour limite a lorsque x tend vers a.
3) L'application h définie sur B(a,r) par h(x) = g(x) - l(x - a) est différentiable sur net pour
X E n, h'(x) = !'(x) - l. Exprimons quel = limx~a .f'(x); nous obtenons : pour tout E > 0, il
exister' vérifiant 0 < r' < r tel que, pour tout x E B(a,r') - {a}, llf'(x) - lll < E. Appliquons à h
le résultat de la question 1 en remplaçant n par n' = B( a, r') - {a}; nous voyons que pour tous x et y E n',
llh(x)-h(y)ll :S: Ellx-ylJ,c'est-à-dire,enrevenantàladéfinitiondeh, IJg(x)-g(y)--l(x-y)ll :S: EIJx-yll.
Les applications g et l étant continues en a, cette dernière inégalité se prolonge par continuité lorsque x = a ou
y= a. Finalement, pour tous x et y E B(a, r'), llg(x) - g(y) - l(x - y)ll :S: Ellx - Yll·
Le résultat précédent appliqué au cas ou y = a permet de dire que, pour tout E > 0, il existe r' vérifiant
0 < r' < r tel que, pour tout x E B(a, r'), llg(x) - g(a) - l(x - a) Il :S: Ellx - all. ce qui exprime que g est
différentiable en a et a pour différentielle en ce point g' (a) = l.
Solution 1.16.
1) Pour tout n E Net tout x E [O, 2n], lanrneinx 1 :S: llallrn. Or, puisque r E ]O, 1[, la série de terme général
llallrn converge. Ainsi, la suite d'éléments de C: x >-+ ln(a)(x) = I::;=O aprPeipx, converge uniformément
sur [O, 2n], et sa limite l(a) est continue sur cet intervalle, c'est-à-dire est élément de C (voir par exemple
[T. VIIl.1.8)).
Les applications ln(a) sont dérivables en tout point de [O, 2n], de dérivée x >-+ l~ (a)(x) = I::;=O ipaprPeipx.
Mais pour tout n E Net tout x E [O, 2n], linanrneinxl :S: nlJallrn. De plus la série de terme général nllallrn
converge, ce qui prouve que la suite l~ (a) des dérivées des applications ln (a) converge uniformément sur [O, 2n]
vers l'application x >-+ I:::=o inanrneinx. L'espace IC étant complet, on peut appliquer le théorème 5.8 de
dérivation pour conclure quel( a) est continûment différentiable sur [O, 2n] et que sa dérivée au point x E [O, 2n]
a pour valeur
OO
l'(a)(x) = L inanrneinx.
n=O
2) L'application l est évidemment linéaire d'après les propriétés des opérations sur les séries numériques. De
plus, pour tous a E Set x E [O, 2n],
OO
ll(a)(x) 1 :S: L lanlrn :S: llall 1 ~ r,
n=O
donc lll(a)IJ :S: llall/(1 - r), ce qui montre quel est continue et que sa norme vérifie lllll :S: 1/(1 - r).
Soit maintenant a = (an) la suite dont tous les termes an valent 1. Alors ll(a)(O)I = 1/(1 - r), donc
IJl(a)ll ~ llall ( 1/(1 - r)), et lllll ~ 1/(1 - r). Finalement on obtient
11111 = - 1 - .
1-r
1 127î .
3) Pour n E N, l'application, définie sur C, f >-+ Cn (!) = -
f (x )e-inx dx, est linéaire par application
27r 0
immédiate des propriétés de l'intégrale. De plus, pour tout f E C, lcn(f)I :S: li/li. et en(!) = 1 dans le cas
particulier où f est la fonction f (x) = einx. L'application en est donc continue de norme lien Il = 1. Le calcul
donne, pour a E S,
Chapitre premier. Applications différentiables
Finalement, quels que soient X et y E n. Il! (x) - f (y) Il ::::: kllx - Yll ( * ).
2) Soit (xn, n E N) une suite dans n convergeant vers a. Étant convergente, cette suite est de Cauchy.
L'inégalité(*) établie dans la question précédente montre que la suite (!(xn), n E N) est de Cauchy dans
l'espace complet F. Elle converge donc. Soit a sa limite. Si maintenant (xn) et (Yn) sont deux suites dans n
convergeant toutes deux vers a, l'inégalité ( *) appliquée, pour tout n E N, à Xn et Yn montre que les suites
(!(xn)) et (!(Yn)) ont la même limite. Ainsi a ne dépend pas du choix de la suite (xn)· On sait (voir par
exemple [T.Vl.1.4.c] que cela implique que fa pour limite a lorsque x tend vers a.
3) L'application h définie sur B(a,r) par h(x) = g(x) - l(x - a) est différentiable sur net pour
X E n, h'(x) = !'(x) - l. Exprimons quel = limx~a .f'(x); nous obtenons : pour tout E > 0, il
exister' vérifiant 0 < r' < r tel que, pour tout x E B(a,r') - {a}, llf'(x) - lll < E. Appliquons à h
le résultat de la question 1 en remplaçant n par n' = B( a, r') - {a}; nous voyons que pour tous x et y E n',
llh(x)-h(y)ll :S: Ellx-ylJ,c'est-à-dire,enrevenantàladéfinitiondeh, IJg(x)-g(y)--l(x-y)ll :S: EIJx-yll.
Les applications g et l étant continues en a, cette dernière inégalité se prolonge par continuité lorsque x = a ou
y= a. Finalement, pour tous x et y E B(a, r'), llg(x) - g(y) - l(x - y)ll :S: Ellx - Yll·
Le résultat précédent appliqué au cas ou y = a permet de dire que, pour tout E > 0, il existe r' vérifiant
0 < r' < r tel que, pour tout x E B(a, r'), llg(x) - g(a) - l(x - a) Il :S: Ellx - all. ce qui exprime que g est
différentiable en a et a pour différentielle en ce point g' (a) = l.
Solution 1.16.
1) Pour tout n E Net tout x E [O, 2n], lanrneinx 1 :S: llallrn. Or, puisque r E ]O, 1[, la série de terme général
llallrn converge. Ainsi, la suite d'éléments de C: x >-+ ln(a)(x) = I::;=O aprPeipx, converge uniformément
sur [O, 2n], et sa limite l(a) est continue sur cet intervalle, c'est-à-dire est élément de C (voir par exemple
[T. VIIl.1.8)).
Les applications ln(a) sont dérivables en tout point de [O, 2n], de dérivée x >-+ l~ (a)(x) = I::;=O ipaprPeipx.
Mais pour tout n E Net tout x E [O, 2n], linanrneinxl :S: nlJallrn. De plus la série de terme général nllallrn
converge, ce qui prouve que la suite l~ (a) des dérivées des applications ln (a) converge uniformément sur [O, 2n]
vers l'application x >-+ I:::=o inanrneinx. L'espace IC étant complet, on peut appliquer le théorème 5.8 de
dérivation pour conclure quel( a) est continûment différentiable sur [O, 2n] et que sa dérivée au point x E [O, 2n]
a pour valeur
OO
l'(a)(x) = L inanrneinx.
n=O
2) L'application l est évidemment linéaire d'après les propriétés des opérations sur les séries numériques. De
plus, pour tous a E Set x E [O, 2n],
OO
ll(a)(x) 1 :S: L lanlrn :S: llall 1 ~ r,
n=O
donc lll(a)IJ :S: llall/(1 - r), ce qui montre quel est continue et que sa norme vérifie lllll :S: 1/(1 - r).
Soit maintenant a = (an) la suite dont tous les termes an valent 1. Alors ll(a)(O)I = 1/(1 - r), donc
IJl(a)ll ~ llall ( 1/(1 - r)), et lllll ~ 1/(1 - r). Finalement on obtient
11111 = - 1 - .
1-r
1 127î .
3) Pour n E N, l'application, définie sur C, f >-+ Cn (!) = -
f (x )e-inx dx, est linéaire par application
27r 0
immédiate des propriétés de l'intégrale. De plus, pour tout f E C, lcn(f)I :S: li/li. et en(!) = 1 dans le cas
particulier où f est la fonction f (x) = einx. L'application en est donc continue de norme lien Il = 1. Le calcul
donne, pour a E S,