§ 7. Solutions
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u E E vérifiant llull < rJ, jcp' (f(x) + O(x)u(x)) - cp' (f(x)) j < e:, d'où l'inégalité, qui prouve que g est
différentiable au point f, jg(f + u) - g(f) - l(f)(u) j ::; e:(b- a)llull· La différentielle g' (!)est l'application
u1-+g 1 (f)u= lb cp'(f(x))u(x)dx, uE E.
Solution I.11.
Soit u E e 1 . D'après la définition de la série produit de deux séries numériques, V = cp(u)
est la série produit u u. De plus, u étant absolument convergente, v l'est aussi, donc est bien élément de e 1 .
Étudions la différentiabilité de cp au pointu. Pour h = ( hn) E e 1 , la série w = cp( u + h) - cp( u) a pour terme
général
n
n
Wn = L ( Uphn-p + hpUn-p) + L hphn-p.
p=O
p=O
On reconnaît le terme général de la série w = 2u h + h h On pose l(u)(h) = 2u h. On définit ainsi sur e 1 une
application l(u) : h >--+ l(u)(h). Cette application est visiblement linéaire; vérifions qu'elle est continue. En
effet,
On montre de même que llh hll ::; llhll 2 , ce qui prouve que cp est différentiable au pointu et que sa différentielle
en ce point est l'application linéaire, définie sur e 1 , h ,_. Dcp( u)(h) = 2u h.
Solution I.12. {Application point fixe].
1) Pour x E E fixé, soit cpx : F-+ F l'application cpx(Y) = cp(x,y). D'après les hypothèses, l'application
cpx est contractante de rapport À. L'espace F étant complet, nous pouvons appliquer à cpx le théorème du point
fixe (voir par exemple [T.VI.4.3]): l'application cpx possède un unique point fixe, que nous notons f(x). Nous
avons ainsi défini une application f: E-+ F qui vérifie, pour tout x E E, cp( x, f(x)) = f(x).
2 a) Soit (a, b) E E x F. Puisque cp est différentiable au point (a, b ), elle admet en ce point une différentielle
partielle par rapport à sa seconde variable, notée cp~ (a, b ). Selon la définition de cette différentielle, pour tout
e: > 0, il existe rJ > 0 tel que, pour tout k E F vérifiant llkll < e:,
llcp(a, b + k) - cp(a, b) - cp~(a, b) kjj ::; e:llkll ·
Ceci entraîne llcp~ (a, b ).kil ::; llcp(a, b + k) - cp(a, b) Il+ e:llkll ::; (À+ e:) llkll, puis encore, par définition de la
norme d'une application linéaire, llcp~(a, b)ll ::; À+ e:. Ce résultat étant valable pour toute:> 0 nous obtenons,
en faisant tendre e: vers 0, llcp~ (a, b) Il ::; À < 1. On sait (voir par exemple [T.X.4.3.a]) que cela implique que
idF -cp~(a, b) est un élément inversible"'de .C(F, F).
2b)L'application'l/J: x >--+ cp(x,f(x)) estlacomposée'!jJ = cpoFdesapplicationsF: x ,_. (x,f(x)) etcp.
L'application Fest différentiable en a car f l'est et, pour tout h E E, F' (a) h = ( h, f' (a) h). L'application cp
étant différentiable au point (a, f (a)), en appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées [l.1.9],
nous obtenons 'l/J' (a) = cp~ (a, f (a)) + cp~ (a, f (a)) o f' (a), ce qui donne finalement
3 a) Soit h E E. En remarquant que cp( a+ h, f(a + h)) = f(a + h), nous avons
llcp( a+ h, f(a)) - f(a) Il = 11-cp( a+ h, f(a + h)) + cp( a+ h, f(a)) + f(a + h) - f(a) Il
2: 11 f (a + h) - f (a) 11 - 11 cp (a + h, f (a + h)) - cp (a + h, f (a)) 11 ,
et puisque jjcp( a+ h, f(a + h)) - cp( a+ h, f(a)) Il ::; >.jlf(a + h) - f(a) Il· nous obtenons finalement
llcp(a + h,f(a)) -/(a)jl 2: (1- >.)ljf(a + h)- /(a)ll ·
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u E E vérifiant llull < rJ, jcp' (f(x) + O(x)u(x)) - cp' (f(x)) j < e:, d'où l'inégalité, qui prouve que g est
différentiable au point f, jg(f + u) - g(f) - l(f)(u) j ::; e:(b- a)llull· La différentielle g' (!)est l'application
u1-+g 1 (f)u= lb cp'(f(x))u(x)dx, uE E.
Solution I.11.
Soit u E e 1 . D'après la définition de la série produit de deux séries numériques, V = cp(u)
est la série produit u u. De plus, u étant absolument convergente, v l'est aussi, donc est bien élément de e 1 .
Étudions la différentiabilité de cp au pointu. Pour h = ( hn) E e 1 , la série w = cp( u + h) - cp( u) a pour terme
général
n
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Wn = L ( Uphn-p + hpUn-p) + L hphn-p.
p=O
p=O
On reconnaît le terme général de la série w = 2u h + h h On pose l(u)(h) = 2u h. On définit ainsi sur e 1 une
application l(u) : h >--+ l(u)(h). Cette application est visiblement linéaire; vérifions qu'elle est continue. En
effet,
On montre de même que llh hll ::; llhll 2 , ce qui prouve que cp est différentiable au pointu et que sa différentielle
en ce point est l'application linéaire, définie sur e 1 , h ,_. Dcp( u)(h) = 2u h.
Solution I.12. {Application point fixe].
1) Pour x E E fixé, soit cpx : F-+ F l'application cpx(Y) = cp(x,y). D'après les hypothèses, l'application
cpx est contractante de rapport À. L'espace F étant complet, nous pouvons appliquer à cpx le théorème du point
fixe (voir par exemple [T.VI.4.3]): l'application cpx possède un unique point fixe, que nous notons f(x). Nous
avons ainsi défini une application f: E-+ F qui vérifie, pour tout x E E, cp( x, f(x)) = f(x).
2 a) Soit (a, b) E E x F. Puisque cp est différentiable au point (a, b ), elle admet en ce point une différentielle
partielle par rapport à sa seconde variable, notée cp~ (a, b ). Selon la définition de cette différentielle, pour tout
e: > 0, il existe rJ > 0 tel que, pour tout k E F vérifiant llkll < e:,
llcp(a, b + k) - cp(a, b) - cp~(a, b) kjj ::; e:llkll ·
Ceci entraîne llcp~ (a, b ).kil ::; llcp(a, b + k) - cp(a, b) Il+ e:llkll ::; (À+ e:) llkll, puis encore, par définition de la
norme d'une application linéaire, llcp~(a, b)ll ::; À+ e:. Ce résultat étant valable pour toute:> 0 nous obtenons,
en faisant tendre e: vers 0, llcp~ (a, b) Il ::; À < 1. On sait (voir par exemple [T.X.4.3.a]) que cela implique que
idF -cp~(a, b) est un élément inversible"'de .C(F, F).
2b)L'application'l/J: x >--+ cp(x,f(x)) estlacomposée'!jJ = cpoFdesapplicationsF: x ,_. (x,f(x)) etcp.
L'application Fest différentiable en a car f l'est et, pour tout h E E, F' (a) h = ( h, f' (a) h). L'application cp
étant différentiable au point (a, f (a)), en appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées [l.1.9],
nous obtenons 'l/J' (a) = cp~ (a, f (a)) + cp~ (a, f (a)) o f' (a), ce qui donne finalement
3 a) Soit h E E. En remarquant que cp( a+ h, f(a + h)) = f(a + h), nous avons
llcp( a+ h, f(a)) - f(a) Il = 11-cp( a+ h, f(a + h)) + cp( a+ h, f(a)) + f(a + h) - f(a) Il
2: 11 f (a + h) - f (a) 11 - 11 cp (a + h, f (a + h)) - cp (a + h, f (a)) 11 ,
et puisque jjcp( a+ h, f(a + h)) - cp( a+ h, f(a)) Il ::; >.jlf(a + h) - f(a) Il· nous obtenons finalement
llcp(a + h,f(a)) -/(a)jl 2: (1- >.)ljf(a + h)- /(a)ll ·