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Chapitre premier. Applications différentiables
Définissons alors la fonction M sur Epar en posant M(O) = 0 et, si h f: 0,
M(h) = (1 - ~)llhll llcp( a+ h,f(a)) - f(a) Il·
La fonction M est telle que, pour tout h E E, Il f (a+ h) - f(a) Il :::; llhll M(h). Mais, par définition de la
différentielle première de cp en (a, f(a)), il existe a > 0 tel que, pour tout h E E vérifiant llhll < a, on ait
llcp( a+ h,f(a)) - /(a) - cp~ (a, f(a)) Il :=:; llhll. soit encore
Ainsi, dès que llhll < a,
Ceci prouve que M est bornée au voisinage de O.
3 b)Posons, pour h E E, A(h) = (idp -cp~ (a, f (a))) o (t (a+h)- f (a)-cp~ (a, f(a))) h. Transformons
cette expression en utilisant la définition de f et l'expression de la différentielle de cp en (a, f(a)) à l'aide de
ses différentielles partielles. Nous obtenons
A(h) = f(a + h) - f(a) - cp~ (a, /(a)) (!(a+ h) - f(a)) - cp~ (a, f(a)) h
= cp( a+ h, f (a+ h)) - cp (a, f (a)) - cp 1 (a, f (a))( h,f(a + h) - f (a))
=o(ll(h,J(a+h)-/(a))ll).
On peut par exemple choisir pour nonne sur E x F Il (x, y) Il = llxll + llYll· Nous avons alors, pour cette
nonne, Il ( h, f (a+ h) - f(a)) Il = l!hll +Il/ (a+ h) - f (a)ll. Mais d'après 3 a, 11/(a + h) - f (a)ll llhll- 1
est borné au voisinage de 0, car M(h) l'est. Cela implique que o (Il (h, f (a+ h) - f (a)) Il) = o(llhll). En
définitive,
(idp -cp~ (a, f(a))) o (t(a + h) - f(a) - cp~ (a, f(a)) h = o(llhll).
En composant avec l'application linéaire continue (idp -cp~ (a, f (a))) - l les deux membres de cette égalité
nous obtenons
f(a + h) - f(a) - (idp -cp~ (a, f(a)) )-l o cp~ (a, f(a)) h = o(llhll) .
Cette dernière égalité prouve que/ est différentiable en a et redonne l'expression de sa différentielle obtenue en
2 b.
Solution I.13.
L'application g : )a, b[-+ E, g(x) = f(x) - fd(xo)(x - xo), admet en tout point x de
I une dérivée à droite gd(x) = fd(x) - fd(xo). Écrivons que l'application Id est continue au point xo. Soit
E > O; il existe 77 > 0 tel que, pour tout x E I vérifiant lx - xol < 77, llgd(x)ll < E. Appliquons alors à g le
théorème des accroissements finis entre les points x et xo, le point x étant choisi tel que lx - xol < 77. Nous
obtenons
llg(x) - g(xo)ll :=:; sup llgd(z)ll lx - xol,
zE[xo,x)
et comme [xo, x) C Jxo - 77, xo - 77[, nous avons llg(x) - g(xo) Il :=:; t:lx - xol. d'où finalement
11/(x) - f(xo) - fd(xo)(x - xo)ll ~ t:lx - xol ·
Nous avons bien prouvé que f est différentiable en xo et qu'en ce point sa dérivée est !' ( xo) = fd ( xo).
Chapitre premier. Applications différentiables
Définissons alors la fonction M sur Epar en posant M(O) = 0 et, si h f: 0,
M(h) = (1 - ~)llhll llcp( a+ h,f(a)) - f(a) Il·
La fonction M est telle que, pour tout h E E, Il f (a+ h) - f(a) Il :::; llhll M(h). Mais, par définition de la
différentielle première de cp en (a, f(a)), il existe a > 0 tel que, pour tout h E E vérifiant llhll < a, on ait
llcp( a+ h,f(a)) - /(a) - cp~ (a, f(a)) Il :=:; llhll. soit encore
Ainsi, dès que llhll < a,
Ceci prouve que M est bornée au voisinage de O.
3 b)Posons, pour h E E, A(h) = (idp -cp~ (a, f (a))) o (t (a+h)- f (a)-cp~ (a, f(a))) h. Transformons
cette expression en utilisant la définition de f et l'expression de la différentielle de cp en (a, f(a)) à l'aide de
ses différentielles partielles. Nous obtenons
A(h) = f(a + h) - f(a) - cp~ (a, /(a)) (!(a+ h) - f(a)) - cp~ (a, f(a)) h
= cp( a+ h, f (a+ h)) - cp (a, f (a)) - cp 1 (a, f (a))( h,f(a + h) - f (a))
=o(ll(h,J(a+h)-/(a))ll).
On peut par exemple choisir pour nonne sur E x F Il (x, y) Il = llxll + llYll· Nous avons alors, pour cette
nonne, Il ( h, f (a+ h) - f(a)) Il = l!hll +Il/ (a+ h) - f (a)ll. Mais d'après 3 a, 11/(a + h) - f (a)ll llhll- 1
est borné au voisinage de 0, car M(h) l'est. Cela implique que o (Il (h, f (a+ h) - f (a)) Il) = o(llhll). En
définitive,
(idp -cp~ (a, f(a))) o (t(a + h) - f(a) - cp~ (a, f(a)) h = o(llhll).
En composant avec l'application linéaire continue (idp -cp~ (a, f (a))) - l les deux membres de cette égalité
nous obtenons
f(a + h) - f(a) - (idp -cp~ (a, f(a)) )-l o cp~ (a, f(a)) h = o(llhll) .
Cette dernière égalité prouve que/ est différentiable en a et redonne l'expression de sa différentielle obtenue en
2 b.
Solution I.13.
L'application g : )a, b[-+ E, g(x) = f(x) - fd(xo)(x - xo), admet en tout point x de
I une dérivée à droite gd(x) = fd(x) - fd(xo). Écrivons que l'application Id est continue au point xo. Soit
E > O; il existe 77 > 0 tel que, pour tout x E I vérifiant lx - xol < 77, llgd(x)ll < E. Appliquons alors à g le
théorème des accroissements finis entre les points x et xo, le point x étant choisi tel que lx - xol < 77. Nous
obtenons
llg(x) - g(xo)ll :=:; sup llgd(z)ll lx - xol,
zE[xo,x)
et comme [xo, x) C Jxo - 77, xo - 77[, nous avons llg(x) - g(xo) Il :=:; t:lx - xol. d'où finalement
11/(x) - f(xo) - fd(xo)(x - xo)ll ~ t:lx - xol ·
Nous avons bien prouvé que f est différentiable en xo et qu'en ce point sa dérivée est !' ( xo) = fd ( xo).