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Chapitre premier. Applications différentiables
2 a) L'application Fest la composée F = qop des applications p : t ,__, ( cp( t) x, cp( t) x), et q : ( x, y) ,__, ( xly ),
forme bilinéaire continue sur E x E.
L'application ·If; : t ,__, cp( t) x est la composée de l'application cp et de lapplication linéaire continue u ,__, u x,
définie sur .C( E, E). Elle est donc dérivable en tout t E ~ et a pour dérivée 1/J' ( t) = A o exp( tA) x.
L'application p est dérivable et p 1 ( t) = (A o exp( tA) x , A o exp( tA) x), car ses deux composantes sont
dérivables.
L'application q est différentiable en tout point (x, y) E Ex E et Dq(x, y) (h, k) = (xlk) + (hly) pour tout
élément (h, k) de Ex E.
Par application de la formule de dérivation des fonctions composées, nous obtenons
F'(t) = Dq(p(t))p'(t) = 2(exp(tA)x 1 Aoexp(tA)x).
2 b) On suppose que pour tout couple (x,y) E Ex E, (A(x) 1 y) = -(x 1 A(y)). Pour x E E
fixé, appliquons cette propriété au couple (exp( tA) x , exp( tA) x). Nous obtenons, pour tout t E ~.
F'(t) = 0, ce qui prouve que l'application Fest constante sur R Donc pour tout t E ~. F(t) = F(O),
soit Il exp(tA) xll = llxll. Ce résultat étant vrai pour tout x E E, l'application linéaire exp(tA) est unitaire.
Solution I.9.
Soit u E E. Montrons que cp est différentiable au pointu. Soit h E E. Pour tout t E [O, lJ,
( cp(u + h) - cp(u)) (t) =sin( u(t) + h(t)) - sin( u(t)).
Appliquons à la fonction sinus la formule de Taylor- Lagrange entre les points u(t) + h(t) et u(t) : il existe
8(t) EJO, 1[ tel que
sin( u(t) + h(t)) - sin u(t) = h(t) cos u(t) - h(~) 2 sin( u(t) + 8(t)h(t)) .
Soit alors l(h) E E lafoncion t ,__, l(h)(t) = h(t) cos u(t). Nous avons ainsi défini une application l : E ---> E.
On vérifie immédiatement quel est linéaire. De plus, lll(h)ll = suptE(O,l) lh(t) cos u(t)I :::; llhll. ce qui prouve
que l est continue. Nous avons alors
llcp(u + h) - cp(u) -l(hlll = sup 1 h(t)
2 sin(u(t) + 8(t)h(t)) 1:::; llhll
2 ,
tE(0,1)
2
2
ce qui prouve que cp est différentiable au point u et que sa différentielle Dcp( u) est lapplication linéaire
l: h ,__, l(h), avec l(h)(t) = h(t) cosu(t).
Solution I.10.
Soit f E E et l(f) : u ,__, l(f)(u) l'application définie sur Epar
l(f)(u)= lb cp'(f(x))u(x)dx.
L'application l (!)est linéaire: c'est une conséquence immédiate de la linéarité de lintégrale. De plus, cp 1 of E E,
donc ll(J)(u) 1 :::; llcp' of 11 llull. ce qui prouve que l(f) est continue. Il reste à établir que pour tout u E E,
g(f + u) - g(f) - l(f)(u) = o(llull). Nous avons
Appliquons à cp la formule de Taylor-Lagrange entre les points f(x) + u(x) et u(x). Il existe 8(x) E JO, 1[ tel
que cp(f(x) + u(x)) - cp(f(x)) = cp' (f(x) + 8(x)·u(x) )u(x), d'où
g(f + u) - g(f) - l(f)(u) =lb ( cp 1 (f(x) + 8(x)u(x)) - cp 1 (f(x)) )u(x) dx.
On peut imposer à u la condition llull :::; 1; ainsi, lorsque x E [a, bJ, f(x) + 8(x)u(x) et f(x) appartiennent
à l'intervalle [Il! Il - 1, Il! Il + 1]. L'application cp étant de classe C 1 sur~. sa dérivée cp' est continue, donc
uniformément continue sur le compact [11!11 - 1, llfll + 1]. Soit€ > O. Il existe 7J E JO, 1[ tel que, pour tout
Chapitre premier. Applications différentiables
2 a) L'application Fest la composée F = qop des applications p : t ,__, ( cp( t) x, cp( t) x), et q : ( x, y) ,__, ( xly ),
forme bilinéaire continue sur E x E.
L'application ·If; : t ,__, cp( t) x est la composée de l'application cp et de lapplication linéaire continue u ,__, u x,
définie sur .C( E, E). Elle est donc dérivable en tout t E ~ et a pour dérivée 1/J' ( t) = A o exp( tA) x.
L'application p est dérivable et p 1 ( t) = (A o exp( tA) x , A o exp( tA) x), car ses deux composantes sont
dérivables.
L'application q est différentiable en tout point (x, y) E Ex E et Dq(x, y) (h, k) = (xlk) + (hly) pour tout
élément (h, k) de Ex E.
Par application de la formule de dérivation des fonctions composées, nous obtenons
F'(t) = Dq(p(t))p'(t) = 2(exp(tA)x 1 Aoexp(tA)x).
2 b) On suppose que pour tout couple (x,y) E Ex E, (A(x) 1 y) = -(x 1 A(y)). Pour x E E
fixé, appliquons cette propriété au couple (exp( tA) x , exp( tA) x). Nous obtenons, pour tout t E ~.
F'(t) = 0, ce qui prouve que l'application Fest constante sur R Donc pour tout t E ~. F(t) = F(O),
soit Il exp(tA) xll = llxll. Ce résultat étant vrai pour tout x E E, l'application linéaire exp(tA) est unitaire.
Solution I.9.
Soit u E E. Montrons que cp est différentiable au pointu. Soit h E E. Pour tout t E [O, lJ,
( cp(u + h) - cp(u)) (t) =sin( u(t) + h(t)) - sin( u(t)).
Appliquons à la fonction sinus la formule de Taylor- Lagrange entre les points u(t) + h(t) et u(t) : il existe
8(t) EJO, 1[ tel que
sin( u(t) + h(t)) - sin u(t) = h(t) cos u(t) - h(~) 2 sin( u(t) + 8(t)h(t)) .
Soit alors l(h) E E lafoncion t ,__, l(h)(t) = h(t) cos u(t). Nous avons ainsi défini une application l : E ---> E.
On vérifie immédiatement quel est linéaire. De plus, lll(h)ll = suptE(O,l) lh(t) cos u(t)I :::; llhll. ce qui prouve
que l est continue. Nous avons alors
llcp(u + h) - cp(u) -l(hlll = sup 1 h(t)
2 sin(u(t) + 8(t)h(t)) 1:::; llhll
2 ,
tE(0,1)
2
2
ce qui prouve que cp est différentiable au point u et que sa différentielle Dcp( u) est lapplication linéaire
l: h ,__, l(h), avec l(h)(t) = h(t) cosu(t).
Solution I.10.
Soit f E E et l(f) : u ,__, l(f)(u) l'application définie sur Epar
l(f)(u)= lb cp'(f(x))u(x)dx.
L'application l (!)est linéaire: c'est une conséquence immédiate de la linéarité de lintégrale. De plus, cp 1 of E E,
donc ll(J)(u) 1 :::; llcp' of 11 llull. ce qui prouve que l(f) est continue. Il reste à établir que pour tout u E E,
g(f + u) - g(f) - l(f)(u) = o(llull). Nous avons
Appliquons à cp la formule de Taylor-Lagrange entre les points f(x) + u(x) et u(x). Il existe 8(x) E JO, 1[ tel
que cp(f(x) + u(x)) - cp(f(x)) = cp' (f(x) + 8(x)·u(x) )u(x), d'où
g(f + u) - g(f) - l(f)(u) =lb ( cp 1 (f(x) + 8(x)u(x)) - cp 1 (f(x)) )u(x) dx.
On peut imposer à u la condition llull :::; 1; ainsi, lorsque x E [a, bJ, f(x) + 8(x)u(x) et f(x) appartiennent
à l'intervalle [Il! Il - 1, Il! Il + 1]. L'application cp étant de classe C 1 sur~. sa dérivée cp' est continue, donc
uniformément continue sur le compact [11!11 - 1, llfll + 1]. Soit€ > O. Il existe 7J E JO, 1[ tel que, pour tout