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Supposons la condition ( **) satisfaite. Posons o: = ( 1/2) inf n;éno ( lan 0 1 - lan 1). La suite (an , n E f\l)
ayant pour limite 0, il existe N E f\l tel que, pour tout n ~ N, lan 1 < lan 0 1/2. Nous avons donc o: > O. Il est
alors facile de montrer, comme dans la question 3 b, que N est différentiable en a et que sa différentielle en ce
point a pour expression
N'(a) h = anohno '
lanol
avec h = (hn, n E f\l) E E.
Supposons maintenant que la condition(**) n'est pas réalisée. On montre, comme dans 3 b, que N n'est pas
différentiable en a.
Solution I. 7.
1) L'application
--+ ( xlu( x)) est la composée
--+ ( x, u( x)), application linéaire
continue de E dans EX E, etde q : (x, y) >--+ (xly), forme bilinéaire continue sur EX E. Ces applications sont
différentiables de classe C 1 sur leur domaine de définition. Nous avons Dp(x) =pet, pour tout (h, k) E Ex E,
Dq(x, y)(h, k) = (xlk) + (hly). L'application
Dip(x) h = Dq( x, u(x)) o Dp(x) h = (xlu(h)) + (u(x)lh) = 2(xlu(h)),
hE E.
Dans le cas particulier où u est l'application idE. l'application
--+ N(x) = llxll 2 . Cette
application est donc différentiable de classe C 1 sur E et sa différentielle au point x E E a pour expression
DN(x) h = 2(xlh),
hE E.
2 a) L'application f est le quotient f = N/ip de deux applications différentiables de classe C 1 . Elle est donc
différentiable de classe C 1 (voir exercice 5) sur l'ensemble des x E E tels que N(x) =F 0, c'est-à-dire sur le
complémentaire de l'origine dans E. De plus, pour tout x E E, x =F 0, et tout h E E,
Df(x) h = N(x) Dip(x) h - ip(x) DN(x) h
N(x) 2
= 2 (xlx) (u(x)lh) - (u(x)lx) (xlh) .
(xlx) 2
2 b) Soit a un vecteur propre de u associé à une valeur propre>... Nous avons u(a) = >..a donc, pour tout h E E,
Df(a) h =O. Cela prouve que Df(a) =O.
Réciproquement, soit a un vecteur non nul de Etel que D f(a) =O. Pour tout h E E,
(ala) (u(a)lh) - (u(a)la) (alh) = ((ala)u(a) - (u(a)la)a 1h)=0,
donc (ala) u(a) - (u(a)la)a = 0, soit encore u(a) = ( (u(a)la)/(ala)) a, ce qui prouve que a est un vecteur
propre de u associé à la valeur propre (u(a)la.)/(ala).
Solution I.8.
1) L'application identité de E est notée idE. L'application
ip(t + h) - ip(t) - hA o exp(tA) = exp(tA) o ( exp(hA) - ide -hA) .
Mais
OO
OO
llexp(hA) - ide -hAll = '""hn An :S' "" lhlln llAlln = elhlllAll - 1 - lhl llAll.
~ n!
~ n.
n=2
n=2
Par suite, ip(t + h) - ip(t) - hA o exp(tA)
ip'(t) =A o exp(tA).
o ( lhl), ce qui prouve que