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Chapitre premier. Applications différentiables
- l'application q est bilinéaire continue et sa différentielle vérifie q'(x, y)(h, k) = (xlk) + (hly) pour tout
élément (h, k) de Ex E;
-quant à l'application r, sa différentielle en t E JO, +oo[ est l'application linéaire u >--+ r'(t) u = u/(2Vt).
L'application N est donc différentiable en tout point a :f:- 0 de E et nous avons, pour tout h E E,
N'(a)h=r'(ala)oq'(a,a)op'(a)h= ~~~~.
3) Nous allons étudier la différentiabilité des normes N1 et N 00 en un point a = (a1, a2, ... , an) E !Rn.
D'après la question 1 a, nous savons que ces normes ne sont pas différentiables à l'origine; nous pouvons donc
supposer le point a distinct de l'origine.
3 a) L'application N1 admet au point a une dérivée partielle par rapport à sa i-ème variable (1 $ i $ n) si et
seulement si ai :f:- O. Lorsque c'est le cas, (N1 )~(a) = ai/lail· Nous voyons ainsi que N1 admet au point a des
dérivées partielles par rapport à chacune de ses variables si et seulement si, pour tout i (1 $ i $ n), ai :f:- 0, et
que sur l'ouvert U = {a= (a1, ... , an E !Rn ; Vi, 1 $ i $ n, ai :f:- 0 }, ses dérivées partielles sont toutes
continues. Cela prouve (théorème 5.10) que l'ensemble des points de !Rn où N1 est différentiable est l'ouvert
U, et que sur cet ouvert N1 est de classe C 1 . Sa différentielle, en un point a de U, est la forme linéaire
n
N' (a) h = ' "°' ai hi
1
L..i lail '
i=l
avec h = (h1, ... , hn) E !Rn.
3 b) Notons ( *) la condition : il existe io E { 1, ... , n} tel que, pour tout i :f:- io, lai 1 < laio I·
Supposons la condition(*) satisfaite. Posons a= (1/2) infi#io (laio 1- lail). Soit h = (h1, ... , hn) E !Rn
tel que Noo(h) < a. Nous avons alors Noo(a + h) - Noo(a) = lai 0 + hiol - laiol· Or l'application
x >--+ Ixia 1 est différentiable au point a car la; 0 1 :f:- O. La norme Noo est donc différentiable au point a, et sa
différentielle en cc point a pour expression
Supposons maintenant que la condition (*)n'est pas satisfaite. Il existe donc pet q E {1, ... , n }, p :f:- q, tels
que N00 (a) = lapl = laql > O. D'après la définition de N 00 nous avons, pour tout i vérifiant 1 $ i $ n,
i :f:- p, i :f:- q, lail $ lapl· Soit h = (h1, ... , hn) E !Rn vérifiant 0 < lhpl = lhql < N(a)/2, h; = 0 pour
tout i vérifiant 1 $ i $ n, i :f:- p, i :f:- q, hp de même signe que ap. hq de signe opposé à celui de aq. Nous
avons
Noo(a + h) = lap + hpl = lapl + lhpl = Noo(a) + Noo(h),
Noo(a - h) = laq - hql = laql + lhql = Noo(a) + Noo(h).
En ajoutant, nous obtenons
Noo(a + h) + Noo(a - h) - 2N00 (a) = 2Noo(h).
Or si N 00 était différentiable en a, nous aurions
d'ou en ajoutant
N 00 (a + h) - N 00 (a) - N:X,(a) h = o{ N 00 (h)) ,
N 00 (a - h) - N 00 (a) + N:X,(a) h = o(Noo(h)),
N 00 (a + h) + N 00 (a - h) - 2N00 (a) = o(N00 (h)).
Nous aurions donc 2N00 (h) = o( Noo (h)), ce qui n'est pas possible.
Nous avons donc prouvé que N 00 est différentiable en a = (a1, ... , an) si et seulement s'il existe
io E { 1, 2, ... , n} tel que, pour tout i i- io. 1 ai 1 < 1 ai 0 I ·
4) Soit ( **) la condition : il existe no E f\I tel que, pourtout n :f:- no. lan 1 < lan0 I·
Chapitre premier. Applications différentiables
- l'application q est bilinéaire continue et sa différentielle vérifie q'(x, y)(h, k) = (xlk) + (hly) pour tout
élément (h, k) de Ex E;
-quant à l'application r, sa différentielle en t E JO, +oo[ est l'application linéaire u >--+ r'(t) u = u/(2Vt).
L'application N est donc différentiable en tout point a :f:- 0 de E et nous avons, pour tout h E E,
N'(a)h=r'(ala)oq'(a,a)op'(a)h= ~~~~.
3) Nous allons étudier la différentiabilité des normes N1 et N 00 en un point a = (a1, a2, ... , an) E !Rn.
D'après la question 1 a, nous savons que ces normes ne sont pas différentiables à l'origine; nous pouvons donc
supposer le point a distinct de l'origine.
3 a) L'application N1 admet au point a une dérivée partielle par rapport à sa i-ème variable (1 $ i $ n) si et
seulement si ai :f:- O. Lorsque c'est le cas, (N1 )~(a) = ai/lail· Nous voyons ainsi que N1 admet au point a des
dérivées partielles par rapport à chacune de ses variables si et seulement si, pour tout i (1 $ i $ n), ai :f:- 0, et
que sur l'ouvert U = {a= (a1, ... , an E !Rn ; Vi, 1 $ i $ n, ai :f:- 0 }, ses dérivées partielles sont toutes
continues. Cela prouve (théorème 5.10) que l'ensemble des points de !Rn où N1 est différentiable est l'ouvert
U, et que sur cet ouvert N1 est de classe C 1 . Sa différentielle, en un point a de U, est la forme linéaire
n
N' (a) h = ' "°' ai hi
1
L..i lail '
i=l
avec h = (h1, ... , hn) E !Rn.
3 b) Notons ( *) la condition : il existe io E { 1, ... , n} tel que, pour tout i :f:- io, lai 1 < laio I·
Supposons la condition(*) satisfaite. Posons a= (1/2) infi#io (laio 1- lail). Soit h = (h1, ... , hn) E !Rn
tel que Noo(h) < a. Nous avons alors Noo(a + h) - Noo(a) = lai 0 + hiol - laiol· Or l'application
x >--+ Ixia 1 est différentiable au point a car la; 0 1 :f:- O. La norme Noo est donc différentiable au point a, et sa
différentielle en cc point a pour expression
Supposons maintenant que la condition (*)n'est pas satisfaite. Il existe donc pet q E {1, ... , n }, p :f:- q, tels
que N00 (a) = lapl = laql > O. D'après la définition de N 00 nous avons, pour tout i vérifiant 1 $ i $ n,
i :f:- p, i :f:- q, lail $ lapl· Soit h = (h1, ... , hn) E !Rn vérifiant 0 < lhpl = lhql < N(a)/2, h; = 0 pour
tout i vérifiant 1 $ i $ n, i :f:- p, i :f:- q, hp de même signe que ap. hq de signe opposé à celui de aq. Nous
avons
Noo(a + h) = lap + hpl = lapl + lhpl = Noo(a) + Noo(h),
Noo(a - h) = laq - hql = laql + lhql = Noo(a) + Noo(h).
En ajoutant, nous obtenons
Noo(a + h) + Noo(a - h) - 2N00 (a) = 2Noo(h).
Or si N 00 était différentiable en a, nous aurions
d'ou en ajoutant
N 00 (a + h) - N 00 (a) - N:X,(a) h = o{ N 00 (h)) ,
N 00 (a - h) - N 00 (a) + N:X,(a) h = o(Noo(h)),
N 00 (a + h) + N 00 (a - h) - 2N00 (a) = o(N00 (h)).
Nous aurions donc 2N00 (h) = o( Noo (h)), ce qui n'est pas possible.
Nous avons donc prouvé que N 00 est différentiable en a = (a1, ... , an) si et seulement s'il existe
io E { 1, 2, ... , n} tel que, pour tout i i- io. 1 ai 1 < 1 ai 0 I ·
4) Soit ( **) la condition : il existe no E f\I tel que, pourtout n :f:- no. lan 1 < lan0 I·