§ 7. Solutions
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Solution I.5. {Dérivée d'un quotient}. Soit cp : IR x IR* ---->IR l'application cp(x, y) = x/y. Elle est de
classe C 1 , car elle admet sur IR x IR* des dérivées partielles continues. De plus, pour (h, k) E IR 2 ,
(
) (
)
, (
)
1
yh - xk
Dcp x, y h, k ='Px x, y h + 'Py(x, y)k =
2
.
y
Soit u : U ----> IR 2 lapplication u( x) = (f C x), g( x)) . Elle est différentiable en a et sa différentielle en ce point
a pour expression Du( a) h = ( D f (a) h , Dg( a) h), où h E E. L'application q n'est autre que lapplication
composée q = cp ou; elle est donc différentiable en a et Dq(a) = Dcp(f(a), g(a)) o Du( a), soit, pour tout
hE E,
Dq(a)(h) = g(a) Df(a)(h) - f(a) Dg(a)(h).
g(a)2
Solution I.6. {Différentiabilité de normes).
1 a) Si N était différentiable en 0, sa différentielle N' (0) devrait vérifier N(x) - N' (O)(x) = o(N(x )), donc
limx_,O,x,iO ( 1- N'(O)(x)/N(x)) =O. De même, limx_,0,#0 ( 1 + N'(O)(x)/N(x)) = 0, qui s'obtient
en remplaçant x par -x. En faisant la somme des deux limites précédentes, nous voyons que 2 devrait tendre
vers 0 avec N(x), ce qui est absurde. La norme N n'est donc pas différentiable au point O.
1 b) Soit.>. > O. Puisque N est une norme, on a pour tout h E E,
N(.>.a + h) - N(.>.a) - N'(a)(h) = .>.(N(a + h/.>.) - N(a) - N'(a)(h/.>.)).
Mais N est différentiable au point a, ce qui signifie que
N(a + h/.>.) - N(a) - N'(a)(h/ .>.) = o( N(h/ .>.))
ce qui signifie que >-1 N(a + h/ .>.) - N(a) - N' (a)(h/ .>.) 1 (N(h) r
1 tend vers 0 quand N(h) tend vers O.
Ainsi, N(.>.a + h) - N(.>.a) - N'(a)(h) = o(N(h)), ce qui prouve que N est différentiable au point >.a et
que N'(.>.a) = N'(a).
L'application cp : .>. >--> N (>.a) est la composée cp = N o f de lapplication f : .>. >--> >.a et de lapplication
norme N. L'application f est linéaire continue, donc différentiable en 1, et f' ( 1) = f; par hypothèse, N est
différentiable en f(l) =a; l'application composée cp est donc différentiable au point 1 et sa différentielle en ce
point vérifie, pour tout réel a, cp' (l)(a) = N' (f (1)) of' (l)(a) = N' (a)( a a) = aN' (a) a. En particulier,
en choisissant a= 1, on obtient cp'(l)(l) = N'(a) a.
D'autre part, le calcul direct donne cp' (1)(1) = limu_,o,u;60 ( u- 1 ( N( (1 + u)a) - N(a)) = N(a), ce qui
établit la relation N'(a) a= N(a).
Par définition, llN'(a)ll est le plus petit des réel M 2: 0 tels que, pour tout h E E, IN'(a) hl :S M N(h).
Puisque, pour h = a, nous avons N' (a) a= N(a), nécessairement llN' (a)ll 2: l. Puisque N est différentiable
en a, pour tout E > 0, il existe T/ > 0 tel que, pour tout h E E vérifiant N ( h) :S 'fi, nous ayons
IN(a + h) - N(a) - N' (a) hl :S EN(h),
ce qui implique, compte tenu de la seconde inégalité du triangle,
IN'(a) hl :S IN(a + h) - N(a)I + EN(h) :S (1 + t::)N(h).
Les deux membres extrêmes de cette suite d'inégalités étant positivement homogènes de degré 1 par rapport à
N ( h ), nous pouvons nous affranchir de la condition N ( h) :S 'fi, et affirmer que pour tout ê > 0, et pour tout
h E E, IN'(a) hl :S (1 + t::)N(h). Cela prouve que llN'a)ll :S 1 + ê. Nous avons montré d'autre part que
Il N'a) Il 2: l. Nous pouvons donc conclure que Il N'a) Il = l.
2) L'application N est dans ce cas la composée N = r o q op des applications p: x >--> (x, x) définie sur E,
q: (x, y)>--> (xly) définie sur Ex E, et r: t >--> ..fi définie sur JO, +oo[. Ces applications sont différentiables
en chaque point de leur domaine de définition. En effet,
- l'application p est linéaire continue, donc pour tout x E E, p' (x) = p;