30
Chapitre premier. Applications différentiables
Nous avons donc jJ~(x + h, y) 1 ::::; IYI. ce qui prouve que f~(x + h, y) tend vers 0 lorsque (h, y)---+ (0, 0).
Ainsi f ~ est continue au point ( x, 0). De même, 2y sin ( ( x + h) /y) a pour limite 0 quand ( h, y) tend vers
(0, 0). Mais cos ( (x + h)/y) n'a pas de limite lorsque (h, y) ---+ (0, 0), donc f~ n'est pas continue en (x, 0).
Étude de la différentiabilité de f en (x, 0). Si f est différentiable en un tel point, sa différentielle en ce
point est la forme linéaire sur IR 2 : ( h, k) >--+ f ~ ( x, O)h + f ~ ( x, 0 )k; elle est donc nécessairement nulle. Or
nous avons
f(x +h,k)-f(x,O) = k 2 sin x: h si k "/= 0,
0 si k =O.
Munissons IR 2 de l'une de ses normes usuelle, par exemple ll(h, k)ll = sup (lhl, lkl). Puisque k 2 ::::; ll(h, k) Il.
nous voyons que f(x + h, k) - f(x, 0) = o(ll(h, k)ll). Ainsi f est différentiable en tout point (x, 0), et sa
différentielle en ce point est nulle.
Solution I.3.
Soit h: IR 2 ---+ IR 3 l'application h(u, v) = (cosu + sinv, sinu + cosv, eu-v).
1) On remarque que g = f o h. Étant composée de deux applications de classe et, lapplication g est de classe
et.
2) L'application h est différentiable en tout point ( u, v) E IR 2 . Sa différentielle en ce point, identifiée à sa matrice
jacobienne, a pour expression
(
- sin u cos v )
h' ( u, v) = cos u - sin v .
eu-v
-eu-v
La différentielle de l'application g au point (u, v) est l'application composée g' (u, v) = f' ( h( u, v)) oh' ( u, v ).
En particulier pour (u, v) = B = (7r /2, 7r /2), la formule précédente donne g' (B) = f' (A) o h' (B). Ainsi
g' (B), identifiée à sa matrice, est
( 1 3 4)(-l 0 ) (3 7)
g(B) = 2 -1 3
O -l
=
1 =2 .
1 -1
Solution I.4.
On note IR(X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. On remarque que
sur cet espace, la norme P >--+ llPll = SUPo:<:;x:<:;t IP(x)I vérifie, pour tout couple (P, Q) de polynômes,
llPQll : : : : ; llPll llQll·
1) Pour tout polynôme H de E, cp(P + H) - cp(P) = 3P 2 H + 3P H 2 + H 3 . Montrons que l'application
H ---+ 3P 2 H est la différentielle de cp au point P. C'est en effet une application linéaire de E vers F et, l'espace
E étant de dimension finie, elle est continue. De plus,
llcp(P + H) - cp(P) - 3P 2 Hll::::; llH 2 (3P + H)ll::::; llHll 2 113P + Hll = o(llHll).
On a donc bien Dcp(P)(H) = 3P 2 H, ce qui définit l'application Dcp en tout point P de E.
La continuité de Dcp au point P résulte de l'inégalité
llDcp(P + H) - Dcp(P)ll = 3ll(P + H) 2 - P 2 11::::; 3ll2P + HllllHll,
et cette dernière expression a pour limite 0 quand llHll tend vers O.
L'application cp est donc de classe et sur E.
2) Dans cette question n = l. Un polynôme P quelconque de E est de la forme P(x) =a+ bx où a et b sont
des réels. Le calcul donne
Dcp(P)(l) = 3a 2 + 6abx + 3b 2 x 2 ,
Dcp(P)(x) = 3a 2 x + 6abx 2 + 3b 2 x 3 .
La matrice de Dcp(P) dans les bases canoniques de E et Fest donc
, ..
(
3a2
O )
6ab 3a 2
.
3b 2 6ab
0
3b 2
Chapitre premier. Applications différentiables
Nous avons donc jJ~(x + h, y) 1 ::::; IYI. ce qui prouve que f~(x + h, y) tend vers 0 lorsque (h, y)---+ (0, 0).
Ainsi f ~ est continue au point ( x, 0). De même, 2y sin ( ( x + h) /y) a pour limite 0 quand ( h, y) tend vers
(0, 0). Mais cos ( (x + h)/y) n'a pas de limite lorsque (h, y) ---+ (0, 0), donc f~ n'est pas continue en (x, 0).
Étude de la différentiabilité de f en (x, 0). Si f est différentiable en un tel point, sa différentielle en ce
point est la forme linéaire sur IR 2 : ( h, k) >--+ f ~ ( x, O)h + f ~ ( x, 0 )k; elle est donc nécessairement nulle. Or
nous avons
f(x +h,k)-f(x,O) = k 2 sin x: h si k "/= 0,
0 si k =O.
Munissons IR 2 de l'une de ses normes usuelle, par exemple ll(h, k)ll = sup (lhl, lkl). Puisque k 2 ::::; ll(h, k) Il.
nous voyons que f(x + h, k) - f(x, 0) = o(ll(h, k)ll). Ainsi f est différentiable en tout point (x, 0), et sa
différentielle en ce point est nulle.
Solution I.3.
Soit h: IR 2 ---+ IR 3 l'application h(u, v) = (cosu + sinv, sinu + cosv, eu-v).
1) On remarque que g = f o h. Étant composée de deux applications de classe et, lapplication g est de classe
et.
2) L'application h est différentiable en tout point ( u, v) E IR 2 . Sa différentielle en ce point, identifiée à sa matrice
jacobienne, a pour expression
(
- sin u cos v )
h' ( u, v) = cos u - sin v .
eu-v
-eu-v
La différentielle de l'application g au point (u, v) est l'application composée g' (u, v) = f' ( h( u, v)) oh' ( u, v ).
En particulier pour (u, v) = B = (7r /2, 7r /2), la formule précédente donne g' (B) = f' (A) o h' (B). Ainsi
g' (B), identifiée à sa matrice, est
( 1 3 4)(-l 0 ) (3 7)
g(B) = 2 -1 3
O -l
=
1 =2 .
1 -1
Solution I.4.
On note IR(X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. On remarque que
sur cet espace, la norme P >--+ llPll = SUPo:<:;x:<:;t IP(x)I vérifie, pour tout couple (P, Q) de polynômes,
llPQll : : : : ; llPll llQll·
1) Pour tout polynôme H de E, cp(P + H) - cp(P) = 3P 2 H + 3P H 2 + H 3 . Montrons que l'application
H ---+ 3P 2 H est la différentielle de cp au point P. C'est en effet une application linéaire de E vers F et, l'espace
E étant de dimension finie, elle est continue. De plus,
llcp(P + H) - cp(P) - 3P 2 Hll::::; llH 2 (3P + H)ll::::; llHll 2 113P + Hll = o(llHll).
On a donc bien Dcp(P)(H) = 3P 2 H, ce qui définit l'application Dcp en tout point P de E.
La continuité de Dcp au point P résulte de l'inégalité
llDcp(P + H) - Dcp(P)ll = 3ll(P + H) 2 - P 2 11::::; 3ll2P + HllllHll,
et cette dernière expression a pour limite 0 quand llHll tend vers O.
L'application cp est donc de classe et sur E.
2) Dans cette question n = l. Un polynôme P quelconque de E est de la forme P(x) =a+ bx où a et b sont
des réels. Le calcul donne
Dcp(P)(l) = 3a 2 + 6abx + 3b 2 x 2 ,
Dcp(P)(x) = 3a 2 x + 6abx 2 + 3b 2 x 3 .
La matrice de Dcp(P) dans les bases canoniques de E et Fest donc
, ..
(
3a2
O )
6ab 3a 2
.
3b 2 6ab
0
3b 2