§ 7. Solutions
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Etude de la continuité de f. La fonction f est évidemment continue sur IR 2 - { (0, 0)} car composée de
fonctions continues. Étudions sa continuité en (0,0). Nous remarquons d'abord que tout (x, y) E IR 2 vérifie
x 2 + y 2 ~ 2xy, donc x 2 + y 2 - xy ~ (x 2 + y 2 )/2. Ainsi, si (x, y) # (0, 0),
lt(x,y)I ::;21~P+yql2 :::; 2ll(x,y)llp+q-2.
X
y
Si p + q > 2, lim(x,y)-+(O,O) f(x, y) = 0 et f est continue en (0, 0).
Si p + q:::; 2, f(x, x) = xP+q- 2 . Par suite, f(x, x) n'a pas pour limite 0 lorsque x tend vers 0, ce qui prouve
que f n'est pas continue en (0, 0).
En définitive, f est continue sur IR 2 si et seulement si p + q > 2.
Étude de la différentiabilité de f. La fonction f admet des dérivées partielles continues sur IR 2 - { (0, 0) }
donc est de classe C 1 sur cet ouvert. Déterminons, si elles existent, ses dérivées partielles en (0,0). Nous obtenons
aisément
f (x, 0) - f(O, 0) __ 0 1
f~(O, 0) = lim
x-+0, x;o!O
X
f' (0, O) = lim f(O, y) - f(O, 0) = 0.
y
y-+0, y;ofO
y
Si f est différentiable en (0, 0), sa différentielle D f (0, 0) est donc nécessairement l'application nulle.
Revenant à la définition de la différentielle, nous voyons que f est différentiable en (0, 0) si et seulement si
f (x, y) = o(ll(x, y) Il). Or une étude analogue à celle réalisée précédemment permet de prouver que lfl((x, y)I
x,y) 1
a pour limite 0 lorsque (x, y) --+ (0, 0) si et seulement si p + q > 3.
En définitive, f est différentiable sur IR 2 si et seulement si p + q > 3.
Valeurs de (p, q) pour lesquelles f est de classe C 1 sur IR 2 . On sait que ceci est réalisé si et seulement
si f admet des dérivées partielles continues sur IR 2 . On voit immédiatement que les dérivées partielles de f sont
continues sur IR 2 - { (0, 0) }. Il reste donc à étudier leur continuité en (0, 0). À l'aide des formules usuelles
de dérivation des fonctions d'une variable réelle, on détermine aisément les expressions de f~(x, y) et f~(x, y)
en tout point (x, y) # (0, 0). Par un raisonnement analogue aux précédents, on détermine leurs limites lorsque
(x, y) --+ (0, 0). On voit ainsi que f~(x, y) et f~(x, y) tendent vers 0 lorsque (x, y) --+ (0, 0) si et seulement
si p + q > 3. Ainsi, f est de classe C 1 sur IR 2 si et seulement si p + q > 3.
Différentiabilité de f au sens de Gâteaux en (0, 0). Posons, pour tout (x, y) E IR 2 ,
f((o,o) + t(x,y)) -f(O,O)
ip(x,y) = lim
t-+0,t;o!O
Le calcul donne ip(x, y) = limt-+O, t;o!O tP+q- 3 f (x, y). Par définition f est différentiable au sens de Gâteaux
en (0, 0) si et seulement si ip existe et est une application linéaire continue de IR 2 dans IR; nous voyons que c'est
le cas si et seulement si p + q > 3.
Solution I.2.
Soit D f = IR 2 - { ( x, y) E IR 2 ; y = 0 } . D'après son expression, f est continue sur D f,
car sur cet ouvert elle est composée de fonctions usuelles continues. Pour la même raison elle admet, sur D f,
des dérivées partielles f ~ et /~ continues. Elle est donc de classe C 1 sur D f.
Continuité de f aux pointx (x, 0). Soit (h, k) E IR 2 . Nous avons
{
k 2 I sin ( x + h) 1 < k 2
si k # 0,
lt(x + h,k)-f(x,0)1 =
k
-
lt(x+h,0)-f(x,O)I =0 sik=O.
Dans les deux cas, lim(h,k)-+(O,O) f(x + h, k) - f(x, 0) = 0, ce qui prouve la continuité de f en (x, 0).
Existence et continuité des dérivées partielles de f en (x, 0). Le calcul donne
f' (x O) = lim f (x + h, 0) - f (x, 0) = 0 .
X
'
h-+O
h
.
f ' ( O) _ 1 . f(x, k) - f(x, 0) _ 0
y X,
-
Jill
-
.
k-+O
k
De plus, en tout point (x + h, y) tel que y# 0,
x+h
f~(x + h,y) =y cos--,
y
x+h
x+h
f~(x + h,y) = 2y sin-- -cos - - .
y
y