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Chapitre premier. Applications différentiables
Exercice I.15.
Soient E un espace vectoriel normé de dimension (finie ou infinie) au
moins égale à 2, Fun espace de Banach, a un point de E, r et k des réels strictement
positifs, B(a, r) la boule ouverte de Ede centre a et de rayon r. Soit f une application
différentiable définie sur l'ensemble n = B(a, r)- {a}, à valeurs dans F, vérifiant, pour
tout XE 0, llJ'(x)ll :::; k.
1) Montrer que pour x et y E n, on a llJ(x) - f(y) 11 :::; kllx - Yll· [Si y - a= >.(x - a),
avec >. < 0, on choisira un vecteur z linéairement indépendant de x - a et on majorera
jjJ(x) - f(a + Ez) Il· pour 0 < € < r /llzllJ.
2) Montrer que f a une limite a lorsque x tend vers a (on rappelle que F est complet).
3) On suppose que f' (x) tend vers une limite l lorsque x tend vers a, et on considère
l'application g définie sur B(a, r) par g(a) = a et g(x) = f(x) six =f- a. Soit€ > O.
Montrer que, si x et y sont suffisamment proches de a (et préciser ce que cele veut dire),
on a llg(x) -- g(y) - l(x - y)ll :::; Elix - Yll· En déduire que g est différentiable en a et
que g'(a) = l.
Exercice I.16.
On note C le <(:>espace vectoriel des fonctions continues sur l'intervalle
[O, 2nJ, à valeurs dans C, muni de la norme de la convergence uniforme 11111 =
sup 0 ~x 9 njf(x)I. On note S le C-espace vectoriel des suites bornées a= (an, n EN)
de complexes, muni de la norme llall = supnEN lanl· Soit r E JO, 1[.
1) Soit a une suite élément de S. Montrer que la fonction l(a) définie, poùr x E [O, n], par
OO
l(a)(x) = L anrneinx, appartient à C. Montrer que l(a) est continûment différentiable
n=O
sur l'intervalle JO, 2n[.
2) Vérifier quel est une application linéaire continue de S dans C. Calculer lllll·
3) Si f E C et n E N, on pose c 71 (!) = _!_ f
2
n f(x)e-inx dx. Montrer que Cn
2n lo
est un élément du du.al topologique de C. Quelle est sa norme? Etablir la formule
an = r-nCn o l(a).
4) On note B l'ensemble des suites a E S telles que llall :::; 1, et on considère une
suite (f p, p E N) d'éléments de l(B) qui converge, dans C, vers une limite f. Expliquer
pourquoi, pour chaque n E N, la suite (en (fp) , p E N) converge vers Cn (!),et en déduire
que la suite a= ( r-ncn(f), n EN) appartient à B. Montrer que l(B) est un fermé de C.
5) Soit a un élément de S. On pose f = l(a) et on note f' la différentielle de f. Montrer
r
que 11!' 11 :::; (l _ r) 2 llall· Montrer que l(B) est compact.
7. Solutions
Solution I.l.
On munit ~ 2 de la norme Il (x, y) 11,\= (x 2 + y 2 ) 1 1 2 .
Chapitre premier. Applications différentiables
Exercice I.15.
Soient E un espace vectoriel normé de dimension (finie ou infinie) au
moins égale à 2, Fun espace de Banach, a un point de E, r et k des réels strictement
positifs, B(a, r) la boule ouverte de Ede centre a et de rayon r. Soit f une application
différentiable définie sur l'ensemble n = B(a, r)- {a}, à valeurs dans F, vérifiant, pour
tout XE 0, llJ'(x)ll :::; k.
1) Montrer que pour x et y E n, on a llJ(x) - f(y) 11 :::; kllx - Yll· [Si y - a= >.(x - a),
avec >. < 0, on choisira un vecteur z linéairement indépendant de x - a et on majorera
jjJ(x) - f(a + Ez) Il· pour 0 < € < r /llzllJ.
2) Montrer que f a une limite a lorsque x tend vers a (on rappelle que F est complet).
3) On suppose que f' (x) tend vers une limite l lorsque x tend vers a, et on considère
l'application g définie sur B(a, r) par g(a) = a et g(x) = f(x) six =f- a. Soit€ > O.
Montrer que, si x et y sont suffisamment proches de a (et préciser ce que cele veut dire),
on a llg(x) -- g(y) - l(x - y)ll :::; Elix - Yll· En déduire que g est différentiable en a et
que g'(a) = l.
Exercice I.16.
On note C le <(:>espace vectoriel des fonctions continues sur l'intervalle
[O, 2nJ, à valeurs dans C, muni de la norme de la convergence uniforme 11111 =
sup 0 ~x 9 njf(x)I. On note S le C-espace vectoriel des suites bornées a= (an, n EN)
de complexes, muni de la norme llall = supnEN lanl· Soit r E JO, 1[.
1) Soit a une suite élément de S. Montrer que la fonction l(a) définie, poùr x E [O, n], par
OO
l(a)(x) = L anrneinx, appartient à C. Montrer que l(a) est continûment différentiable
n=O
sur l'intervalle JO, 2n[.
2) Vérifier quel est une application linéaire continue de S dans C. Calculer lllll·
3) Si f E C et n E N, on pose c 71 (!) = _!_ f
2
n f(x)e-inx dx. Montrer que Cn
2n lo
est un élément du du.al topologique de C. Quelle est sa norme? Etablir la formule
an = r-nCn o l(a).
4) On note B l'ensemble des suites a E S telles que llall :::; 1, et on considère une
suite (f p, p E N) d'éléments de l(B) qui converge, dans C, vers une limite f. Expliquer
pourquoi, pour chaque n E N, la suite (en (fp) , p E N) converge vers Cn (!),et en déduire
que la suite a= ( r-ncn(f), n EN) appartient à B. Montrer que l(B) est un fermé de C.
5) Soit a un élément de S. On pose f = l(a) et on note f' la différentielle de f. Montrer
r
que 11!' 11 :::; (l _ r) 2 llall· Montrer que l(B) est compact.
7. Solutions
Solution I.l.
On munit ~ 2 de la norme Il (x, y) 11,\= (x 2 + y 2 ) 1 1 2 .