§ 6. Exercices
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Exercice I.11. Soit f 1 l'espace vectoriel des suites réelles u = (Un , n E N) telles que
2:~:0 lunl < +oo. On munit € 1 de la norme u i--+ llull = 2:~:0 lunl· Soit rp: € 1 - t € 1
l'application rp(u) = v, où v = (vn, n E N) avec, pourtoutentiern, Vn = z:=;=O UpUn-p·
Montrer que rp est de classe C 1 et déterminer sa différentielle.
Exercice I.12. {Application point fixe}. Soient E et F deux espaces de Banach et À
un réel vérifiant 0 < À < 1. Soit rp : E x F --; F une application qui vérifie, pour tout
(x, y, z) E Ex F x F,
llrp(x, Y) - rp(x, z)ll ~ .XllY - zll ·
1) Montrer que pour tout x E E, il existe un unique élément de F, noté f(x), tel que
rp(x,f(x)) = f(x).
2) On suppose désormais l'application rp différentiable sur E x F et on note rp~ ( x, y) et
rp;(x, y) ses différentielles partielles au un point (x, y) de Ex F.
2 a) Soit (a, b) un point de Ex F. Montrer que 11 rp; (a, b) 11 ~ À. En déduire que l'application
idp -rp;(a, b) est un élément inversible de C(F, F).
2 b) On suppose, dans cette question, que l'application f est différentiable au point a.
Calculer f' (a).
3 a) Montrer que pour tout élément h de E,
llrp(a + h, f(a)) - J(a)ll 2: (1 - .X)llJ(a + h) - f(a)ll ·
En déduire qu'il existe une fonction M : E--; IR, bornée dans un voisinage de 0, telle que
llJ(a + h) - f(a)ll ~ lhllM(h).
3 b)Montrerque (idp-rp;(a,f(a))) o (!(a+h)-f(a)-rp~(a,f(a))) h = o(llhll).
En déduire que la fonction f est différentiable sur F.
Exercice I.13.
Soient E un espace vectoriel normé, I =]a, b[ un intervalle ouvert
de IR, et f : I --; E une application. On suppose que f admet en tout point x de I une
dérivée à droite fd(x). Montrer que si l'application x 1-+ fd(x) est continue en un point
x 0 de I, alors f est différentiable en x 0 . [On pourra considérer l'application g : I --; E,
g(x) = f(x) - fd(xo)(x - x0 ), et lui appliquer le théorème des accroissements finis].
Exercice I.14.
Soient E un espace vectoriel normé, [a, b] un intervalle fermé de IR,
f : ·[a, b] --; E et g : [a, b] --; IR deux applications continues sur [a, b], dérivables sur
l'intervalle ouvert ]a, b[ et telles que, pour tout u E ]a, b[, llJ'(u)ll ~ gi(u). On suppose
de plus que llJ(b) - f(a)ll = g(b) - g(a).
1) Montrer que pour tous u et v E [a, b] vérifiant u < v, on a Il! ( v )- f ( u) Il = g(v )- g( u).
En déduire que pour tout u E [a, b], llf'(u) Il = g'(u).
2) On suppose de plus que la norme sur E est associée à un produit scalaire (x, y) 1-+ (xly).
Exprimer (f(b) - f(a) 1 f(u) - f(a)) à l'aide de la norme. En déduire que pour tout
u E [a, b], f(u) E [!(a), f(b)].
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Exercice I.11. Soit f 1 l'espace vectoriel des suites réelles u = (Un , n E N) telles que
2:~:0 lunl < +oo. On munit € 1 de la norme u i--+ llull = 2:~:0 lunl· Soit rp: € 1 - t € 1
l'application rp(u) = v, où v = (vn, n E N) avec, pourtoutentiern, Vn = z:=;=O UpUn-p·
Montrer que rp est de classe C 1 et déterminer sa différentielle.
Exercice I.12. {Application point fixe}. Soient E et F deux espaces de Banach et À
un réel vérifiant 0 < À < 1. Soit rp : E x F --; F une application qui vérifie, pour tout
(x, y, z) E Ex F x F,
llrp(x, Y) - rp(x, z)ll ~ .XllY - zll ·
1) Montrer que pour tout x E E, il existe un unique élément de F, noté f(x), tel que
rp(x,f(x)) = f(x).
2) On suppose désormais l'application rp différentiable sur E x F et on note rp~ ( x, y) et
rp;(x, y) ses différentielles partielles au un point (x, y) de Ex F.
2 a) Soit (a, b) un point de Ex F. Montrer que 11 rp; (a, b) 11 ~ À. En déduire que l'application
idp -rp;(a, b) est un élément inversible de C(F, F).
2 b) On suppose, dans cette question, que l'application f est différentiable au point a.
Calculer f' (a).
3 a) Montrer que pour tout élément h de E,
llrp(a + h, f(a)) - J(a)ll 2: (1 - .X)llJ(a + h) - f(a)ll ·
En déduire qu'il existe une fonction M : E--; IR, bornée dans un voisinage de 0, telle que
llJ(a + h) - f(a)ll ~ lhllM(h).
3 b)Montrerque (idp-rp;(a,f(a))) o (!(a+h)-f(a)-rp~(a,f(a))) h = o(llhll).
En déduire que la fonction f est différentiable sur F.
Exercice I.13.
Soient E un espace vectoriel normé, I =]a, b[ un intervalle ouvert
de IR, et f : I --; E une application. On suppose que f admet en tout point x de I une
dérivée à droite fd(x). Montrer que si l'application x 1-+ fd(x) est continue en un point
x 0 de I, alors f est différentiable en x 0 . [On pourra considérer l'application g : I --; E,
g(x) = f(x) - fd(xo)(x - x0 ), et lui appliquer le théorème des accroissements finis].
Exercice I.14.
Soient E un espace vectoriel normé, [a, b] un intervalle fermé de IR,
f : ·[a, b] --; E et g : [a, b] --; IR deux applications continues sur [a, b], dérivables sur
l'intervalle ouvert ]a, b[ et telles que, pour tout u E ]a, b[, llJ'(u)ll ~ gi(u). On suppose
de plus que llJ(b) - f(a)ll = g(b) - g(a).
1) Montrer que pour tous u et v E [a, b] vérifiant u < v, on a Il! ( v )- f ( u) Il = g(v )- g( u).
En déduire que pour tout u E [a, b], llf'(u) Il = g'(u).
2) On suppose de plus que la norme sur E est associée à un produit scalaire (x, y) 1-+ (xly).
Exprimer (f(b) - f(a) 1 f(u) - f(a)) à l'aide de la norme. En déduire que pour tout
u E [a, b], f(u) E [!(a), f(b)].