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Chapitre premier. Applications différentiables
4) Dans cette question, E est l'espace C0 des suites de réels qui convergent vers 0, muni
de la norme définie, pour x = (xn, n EN) E Co, par N(x) = supnEN lxnl· Montrer que
N est différentiable en a= (an, n EN) si et seulement s'il existe n0 E N tel que, pour
tout n '/no, lanl < lan 0 I. Calculer dans ce cas N'(a).
Exercice I. 7. Soit E un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire (x, y) f-) (xly)
et de la norme associée x f-) llxll = (xlx) 1 / 2 . Soit u un endomorphisme continu, autoadjoint de E, c'est-à-dire vérifiant, pour tous x et y E E, (x J u(y)) = (u(x) J y). Soit
(x 1 u(x))
f: E - { 0} _. lR l'application f(x) = (xlx) .
1) Montrer que l'application de E dans R x f-) ( x 1 u( x)) est différentiable sur E.
Calculer sa différentielle.
2 a) Montrer que f est différentiable sur E - {O} et calculer sa différentielle D f.
2 b) Montrer qu'un élément non nul a de E vérifie D f (a) = 0 si et seulement si a est
vecteur propre de u.
Exercice I.8.
Soit E un lR-espace de Banach et L,(E) l'espace des endomorphismes
linéaires continus de E.
1) Soit A E L,(E) et r.p : lR ---> L,(E) l'application r.p(t) = exp(tA). Montrer que r.p est
dérivable sur lR et que 'P'(t) =A o exp(tA).
2 a) On suppose que la norme sur E est associée à un produit scalaire (x, y) f-) (xly). Soit
x E E et F: lR---> lR l'application F(t) = (exp(tA)x 1 exp(tA)x). Montrer que Fest
dérivable sur lR et calculer sa dérivée.
2b)Onsupposedeplusquepourtousxety E E, (A(x) 1 y)= -(x 1 A(y)).Montrer
que pour tout t E lR, exp(tA) est unitaire.
Exercice I.9. Soit E = C([ü, ll) l'espace vectoriel des fonctions numériques définies
et continues sur [ü, 1], muni de la norme ·u f-) llull = suptE[o, 1 Jlu(t)J de la convergence
uniforme. Soit r.p : u f-) r.p(u) l'application de E dans E telle que, pour tout t E [ü, 1],
r.p( u) ( t) = sin u( t). Montrer que r.p est différentiable en tout pointu de E et déterminer sa
différentielle.
Exercice I.1 O. L'espace vectoriel E = C ([a, bl) est muni de la norme de la convergence
uniforme f f-) 11!11 = SUPxE[a,bilf(x)J. Soit r.p: lR ---t lR une application de classe C 1 .
Montrer que lapplication g : E ---> JR,
g(f) =lb r.p(f(x)) dx
est différentiable sur E et que sa différentielle au point f est donnée, pour u E E, par
rb
g'(f)(u) =la r.p'(f(x))u(x)dx.
Chapitre premier. Applications différentiables
4) Dans cette question, E est l'espace C0 des suites de réels qui convergent vers 0, muni
de la norme définie, pour x = (xn, n EN) E Co, par N(x) = supnEN lxnl· Montrer que
N est différentiable en a= (an, n EN) si et seulement s'il existe n0 E N tel que, pour
tout n '/no, lanl < lan 0 I. Calculer dans ce cas N'(a).
Exercice I. 7. Soit E un espace vectoriel réel muni d'un produit scalaire (x, y) f-) (xly)
et de la norme associée x f-) llxll = (xlx) 1 / 2 . Soit u un endomorphisme continu, autoadjoint de E, c'est-à-dire vérifiant, pour tous x et y E E, (x J u(y)) = (u(x) J y). Soit
(x 1 u(x))
f: E - { 0} _. lR l'application f(x) = (xlx) .
1) Montrer que l'application de E dans R x f-) ( x 1 u( x)) est différentiable sur E.
Calculer sa différentielle.
2 a) Montrer que f est différentiable sur E - {O} et calculer sa différentielle D f.
2 b) Montrer qu'un élément non nul a de E vérifie D f (a) = 0 si et seulement si a est
vecteur propre de u.
Exercice I.8.
Soit E un lR-espace de Banach et L,(E) l'espace des endomorphismes
linéaires continus de E.
1) Soit A E L,(E) et r.p : lR ---> L,(E) l'application r.p(t) = exp(tA). Montrer que r.p est
dérivable sur lR et que 'P'(t) =A o exp(tA).
2 a) On suppose que la norme sur E est associée à un produit scalaire (x, y) f-) (xly). Soit
x E E et F: lR---> lR l'application F(t) = (exp(tA)x 1 exp(tA)x). Montrer que Fest
dérivable sur lR et calculer sa dérivée.
2b)Onsupposedeplusquepourtousxety E E, (A(x) 1 y)= -(x 1 A(y)).Montrer
que pour tout t E lR, exp(tA) est unitaire.
Exercice I.9. Soit E = C([ü, ll) l'espace vectoriel des fonctions numériques définies
et continues sur [ü, 1], muni de la norme ·u f-) llull = suptE[o, 1 Jlu(t)J de la convergence
uniforme. Soit r.p : u f-) r.p(u) l'application de E dans E telle que, pour tout t E [ü, 1],
r.p( u) ( t) = sin u( t). Montrer que r.p est différentiable en tout pointu de E et déterminer sa
différentielle.
Exercice I.1 O. L'espace vectoriel E = C ([a, bl) est muni de la norme de la convergence
uniforme f f-) 11!11 = SUPxE[a,bilf(x)J. Soit r.p: lR ---t lR une application de classe C 1 .
Montrer que lapplication g : E ---> JR,
g(f) =lb r.p(f(x)) dx
est différentiable sur E et que sa différentielle au point f est donnée, pour u E E, par
rb
g'(f)(u) =la r.p'(f(x))u(x)dx.