§ 6. Exercices
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2) On suppose que f est différentiable au point A = (1, 1, 1) de IR. 3 , et que sa différentielle
en ce point est, en convenant d'identifier une application linéaire de IR. 3 dans IR. 2 avec sa
matrice,
J'(A) = (~
3
-1
Déterminer la différentielle de g au point B = (7r /2, 7r /2).
Exercice I.4. Pour tout entier n, on note IRn[X] l'espace vectoriel des polynômes à une
variable X,à coefficients réels, de degré :Sn, muni de la norme llPll = supxE[0.1] IP(x) I·
Soit E = IRn[X], F = IR3n[X] et cp: E----> F l'application cp(P) = P 3 .
1) Montrer que cp est différentiable sur E et déterminer sa différentielle Dcp( P) en tout
point P de E. Vérifier que cp est de classe C 1 sur E.
2) On fait n = 1. Donner l'expression de la matrice de Dcp(P) dans les bases canoniques
de E et de F.
Exercice I.5. {Dérivée d'un quotient]. Soient E un espace vectoriel normé, U un
ouvert de E, a un point de U, f et g deux applications de U dans IR différentiables au
point a. On suppose que g ne s'annule pas sur U. On définit une application q : U ----> IR
en posant, pour x E U, q(x) = ;~; ~. Montrer que q est différentiable au point a et
déterminer sa différentielle Dq(a).
Exercice I.6. {Différentiabilité de normes]. Soit E un espace vectoriel normé, N sa
norme.
1 a) Montrer que N n'est pas différentiable en O.
1 b) Soit a E E, a f O. On suppose N différentiable en a. Montrer que pour tout réel
>. > 0, N est différentiable au point >.a et que N' (>.a) = N' (a).
En considérant la dérivée en >. = 1 de l'application >. r--+ N(>.a), montrer que
N'(a) a= N(a). Démontrer alors que llN'(a)ll = 1.
2) On suppose l'espace vectoriel E réel, muni d'un produit scalaire (x, y) r--+ (xly) et de
la norme associée x r--+ N(x) = llxll = (xlx) 1 1 2 . Montrer que N est différentiable en
tout point a f 0 et calculer N' (a).
3) Dans cette question, E = !Rn.
3 a) Soit N1 la norme x = (x1, ... , xn) r--+ N1(x) = L::~=l lxJ Montrer que N1 est
différentiable en un point a = ( a 1 , ... , an) si et seulement si pour tout i E { 1, ... , n } ,
ai f O. Calculer dans ce cas Nf (a).
3 b) Soit N00 la norme x = (x1, ... , Xn) r--+ N00 (x) = sup 1 ~i~n lxil· Montrer
que N00 est différentiable en un point a = (a1, a2, ... , an) si et seulement s'il existe
io E { 1, 2, ... , n} tel que, pour tout i f i0 , lail < laio 1- Calculer dans ce cas N~(a).
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2) On suppose que f est différentiable au point A = (1, 1, 1) de IR. 3 , et que sa différentielle
en ce point est, en convenant d'identifier une application linéaire de IR. 3 dans IR. 2 avec sa
matrice,
J'(A) = (~
3
-1
Déterminer la différentielle de g au point B = (7r /2, 7r /2).
Exercice I.4. Pour tout entier n, on note IRn[X] l'espace vectoriel des polynômes à une
variable X,à coefficients réels, de degré :Sn, muni de la norme llPll = supxE[0.1] IP(x) I·
Soit E = IRn[X], F = IR3n[X] et cp: E----> F l'application cp(P) = P 3 .
1) Montrer que cp est différentiable sur E et déterminer sa différentielle Dcp( P) en tout
point P de E. Vérifier que cp est de classe C 1 sur E.
2) On fait n = 1. Donner l'expression de la matrice de Dcp(P) dans les bases canoniques
de E et de F.
Exercice I.5. {Dérivée d'un quotient]. Soient E un espace vectoriel normé, U un
ouvert de E, a un point de U, f et g deux applications de U dans IR différentiables au
point a. On suppose que g ne s'annule pas sur U. On définit une application q : U ----> IR
en posant, pour x E U, q(x) = ;~; ~. Montrer que q est différentiable au point a et
déterminer sa différentielle Dq(a).
Exercice I.6. {Différentiabilité de normes]. Soit E un espace vectoriel normé, N sa
norme.
1 a) Montrer que N n'est pas différentiable en O.
1 b) Soit a E E, a f O. On suppose N différentiable en a. Montrer que pour tout réel
>. > 0, N est différentiable au point >.a et que N' (>.a) = N' (a).
En considérant la dérivée en >. = 1 de l'application >. r--+ N(>.a), montrer que
N'(a) a= N(a). Démontrer alors que llN'(a)ll = 1.
2) On suppose l'espace vectoriel E réel, muni d'un produit scalaire (x, y) r--+ (xly) et de
la norme associée x r--+ N(x) = llxll = (xlx) 1 1 2 . Montrer que N est différentiable en
tout point a f 0 et calculer N' (a).
3) Dans cette question, E = !Rn.
3 a) Soit N1 la norme x = (x1, ... , xn) r--+ N1(x) = L::~=l lxJ Montrer que N1 est
différentiable en un point a = ( a 1 , ... , an) si et seulement si pour tout i E { 1, ... , n } ,
ai f O. Calculer dans ce cas Nf (a).
3 b) Soit N00 la norme x = (x1, ... , Xn) r--+ N00 (x) = sup 1 ~i~n lxil· Montrer
que N00 est différentiable en un point a = (a1, a2, ... , an) si et seulement s'il existe
io E { 1, 2, ... , n} tel que, pour tout i f i0 , lail < laio 1- Calculer dans ce cas N~(a).