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Chapitre premier. Applications différentiables
nous obtenons
11/(yi, Y2) - f(xi, Y2) - f{(xi, x2)(yi - xi)IJ
< sup llf~(zi,Y2) - f{(xi,x2)ll llYi - xill ·
z1 E[x1 ,yi]
La différentielle partielle f{ étant continue au point x =(xi, x2), il existe 'r/i > 0 tel que
sup(llzi - xill, llY2 - x2ll) :S 'r/i implique
Il/~ (zi, Y2) - f~ (xi, x2) Il :S ~ ·
Si y = (Yi, Y2) E V vérifie llY - xll = sup(llYi - xi Il, llY2 - x2JI) :S inf(ry, ' r/1 ), alors
JIY2 - x2 li :S 'rJ et, pour tout zi E [xi, Yi]. sup(JJz1 - xi JJ, JIY2 - x2JJ) :S 'r/i. donc
ê
ê
IJJ(y)-f(x)-g(x)(y-x)JI :S 2llYi -xill+2JJy2-x2JI :S êsup(IJYi -xill, JJy2-x2JJ) ·
Ceci prouve que f est différentiable au point x, et a g( x) pour différentielle en ce point.
Ayant déjà prouvé la continuité de g, nous concluons que f est de classe ci sur U. D
5.11. Corollaire. -
Une application continue f d'un ouvert U de !Rn dans un
espace vectoriel normé F est de classe ci sur U si et seulement si les n dérivées
partielles:~ (1 :::; i :::; n) de f existent en tout point de U, et sont des applications
continues de U dans F.
Preuve: Compte tenu de 1.5 et de 3.1.b, c'est une conséquence immédiate du théorème
précédent.
6. Exercices
Exercice I.1. Soient p, q E N* et f : lR. 2 ---+ lR. 1' application
xPyQ
f(x, y) = x 2 _ xy + y 2 si (x, y) -::J (0, 0),
f(O, 0) = 0.
D
Pour quelles valeurs de pet q l'application f est-elle continue sur lR. 2 ? différentiable sur
lR. 2 ? de classe ci sur lR. 2 ? différentiable au sens de Gâteaux au point (0, 0)?
Exercice I.2. Soit f : IR. 2 ---+ IR. lapplication
J(x, y)= y 2 sin(~)
si y -::J 0,
f(x, 0) = 0.
Etudier successivement la continuité de f, 1' existence et la continuité des dérivées partielles
de f, la différentiabilité de f en tout point de lR. 2 .
Exercice I.3.
l'application
Soit J : IR. 3 ---+ IR. 2 une application de classe ci et g lR. 2 ---+ IR. 2
g(u, v) = f (cos u +sin v, sin u + cosv, eu-v).
1) Montrer que g est de classe ci.