§ S. Le théorème des accroissements finis
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Supposons f de classe C 1 . D'après la proposition 3.2, ses deux différentielles partielles,
notées f~ et f~, existent en tout point de U, et s'expriment, au moyen de la différentielle f'
de f, par les relations
Soient u 1 : E 1 ~ E et u2 : E2 ~ E les injections canoniques, définies par
L'application fi , i = 1 ou 2, est composée des deux applications suivantes :
(i) l'application x f---t (ui, f'(x)) de U dans (.C(Ei, E)) x (.C(E, F)); cette
application est continue, car ses deux composantes le sont;
(ii) l'application de (.C(Ei, E)) x (.C(E, F)) dans .C(Ei, F), (cp, 'lj;) f---t 'ljJ o cp; cette
application est bilinéaire continue.
Par suite, les applications fi, i = 1 ou 2, sont continues.
Supposons maintenant que les différentielles partielles fi de f, i = 1 ou 2, existent et
soient continues sur U. Posons, pour tout x EU, et tout v = (v1, v2 ) E E = E 1 x E 2 ,
g(x)(v) = f{ (x)(vi) + f~(x)(v2).
Soient p 1 : E ~ E 1 et p2 : E ~ E2 les projections canoniques. L'application
g : U ~ .C(E, F) ainsi définie est somme de deux termes. Le premier est composé
de l'application de U dans .C(E,E1) x .C(E1,F), x f---t (p 1 ,f~(x)), qui est continue
puisque ses deux composantes le sont, et de l'application de .C(E, Ei) x .C(E1 , F) dans
.C(E, F), ( cp, ' lj,1) f---t 'ljJ o cp, qui est bilinéaire continue. Ce terme est donc continu. Il en est
de même du second terme de g, ce qui montre que cette application est continue.
Soient x = (x 1 , x2 ) E U, et V un voisinage ouvert convexe de x contenu dans U. Pour
tout y = (y1, Y2) E V,
f(y) - f(x) - g(x)(y- x) = f(y1,Y2) - f(x1,Y2) - f{(x1,x2)(Y1 - x1)
+ f(x1, Y2) - f(x1, x2) - f~(x1, x2)(Y2 - x2).
Nous en déduisons
llf(y) - f(x) - g(x)(y- x)ll ~ llf(y1,Y2) - f(x1,Y2) - f{(x1,x2)(Y1 - x1)ll
+ llf(x1,Y2) - f(x1,x2) - f~(x1,x2)(y2 - x2)ll ·
Soit c > O. D'après la définition même de la différentielle partielle fHx1, xz), il existe
7J > 0 tel que llY2 - x2 li ~ 7J implique
llf(x1,Y2) - f(x1,x2) - f~(x1,x2)(Y2 - x2)ll ~ ~llY2 - x2JJ.
En considérant x 1 , x 2 et y2 comme fixés et en appliquant le théorème des accroissements
finis à 1' application
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Supposons f de classe C 1 . D'après la proposition 3.2, ses deux différentielles partielles,
notées f~ et f~, existent en tout point de U, et s'expriment, au moyen de la différentielle f'
de f, par les relations
Soient u 1 : E 1 ~ E et u2 : E2 ~ E les injections canoniques, définies par
L'application fi , i = 1 ou 2, est composée des deux applications suivantes :
(i) l'application x f---t (ui, f'(x)) de U dans (.C(Ei, E)) x (.C(E, F)); cette
application est continue, car ses deux composantes le sont;
(ii) l'application de (.C(Ei, E)) x (.C(E, F)) dans .C(Ei, F), (cp, 'lj;) f---t 'ljJ o cp; cette
application est bilinéaire continue.
Par suite, les applications fi, i = 1 ou 2, sont continues.
Supposons maintenant que les différentielles partielles fi de f, i = 1 ou 2, existent et
soient continues sur U. Posons, pour tout x EU, et tout v = (v1, v2 ) E E = E 1 x E 2 ,
g(x)(v) = f{ (x)(vi) + f~(x)(v2).
Soient p 1 : E ~ E 1 et p2 : E ~ E2 les projections canoniques. L'application
g : U ~ .C(E, F) ainsi définie est somme de deux termes. Le premier est composé
de l'application de U dans .C(E,E1) x .C(E1,F), x f---t (p 1 ,f~(x)), qui est continue
puisque ses deux composantes le sont, et de l'application de .C(E, Ei) x .C(E1 , F) dans
.C(E, F), ( cp, ' lj,1) f---t 'ljJ o cp, qui est bilinéaire continue. Ce terme est donc continu. Il en est
de même du second terme de g, ce qui montre que cette application est continue.
Soient x = (x 1 , x2 ) E U, et V un voisinage ouvert convexe de x contenu dans U. Pour
tout y = (y1, Y2) E V,
f(y) - f(x) - g(x)(y- x) = f(y1,Y2) - f(x1,Y2) - f{(x1,x2)(Y1 - x1)
+ f(x1, Y2) - f(x1, x2) - f~(x1, x2)(Y2 - x2).
Nous en déduisons
llf(y) - f(x) - g(x)(y- x)ll ~ llf(y1,Y2) - f(x1,Y2) - f{(x1,x2)(Y1 - x1)ll
+ llf(x1,Y2) - f(x1,x2) - f~(x1,x2)(y2 - x2)ll ·
Soit c > O. D'après la définition même de la différentielle partielle fHx1, xz), il existe
7J > 0 tel que llY2 - x2 li ~ 7J implique
llf(x1,Y2) - f(x1,x2) - f~(x1,x2)(Y2 - x2)ll ~ ~llY2 - x2JJ.
En considérant x 1 , x 2 et y2 comme fixés et en appliquant le théorème des accroissements
finis à 1' application