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Chapitre premier. Applications différentiables
5.9. Corollaire. - Soient U un ouvert connexe d'un espace vectoriel normé E, F
un espace de Banach, et Un, n EN) une suite d'applications différentiables de U
dans F, vérifiant les deux propriétés suivantes :
(i) il existe un point a EU tel que la suite (Jn(a), n EN) converge;
(ii) la suite U~ , n E N) des différentielles des applications f n converge
localement uniformément sur U vers une application g : U ~ L(E, F).
Cela signifie que tout point de U possède un voisinage sur lequel la suite
U~) converge uniformément vers g.
Alors, pour tout x E U, la suite (Jn(x), n E N) converge vers un élément, noté
J(x), de F, la convergence étant localement uniforme (ce qui signifie que tout
point de U possède un voisinage sur lequel la suite Un) converge uniformément).
De plus, l'application f : U ~ F ainsi obtenue est différentiable sur U, et sa
différentielle n'est autre que g.
Preuve : Soit A l'ensemble des points x E U tels que la suite (Jn(x), n E N)
converge. L'ensemble A est non vide, puisqu'il contient a. Soit z E U un point adhérent
à A. Ce point possède un voisinage ouvert convexe borné V c U, sur lequel la suite
U: 1 , n E N) converge uniformément. Ce voisinage rencontre A, puisque z est adhérent
à A. Soit b E V n A. En restreignant la suite Un) à V, en remplaçant a par b et x par z,
nous pouvons appliquer le théorème 5.8. Nous voyons ainsi que la suite Un) converge
uniformément sur V, et que sa limite est une application différentiable de V dans F qui
n'est autre que la limite de la suite U~, n E N) restreinte à V. Par suite, V c A, ce qui
prouve que A est fermé (puisque z E A) et ouvert (puisque voisinage de z, donc de chacun
de ses points). L'ouvert U étant supposé connexe, nous concluons que A = U.
Nous avons vu au cours de la démonstration que tout point z E U possède un voisinage
ouvert V sur lequel la suite Un , n E N) converge uniformément vers une application
différentiable de V dans F, dont la différentielle est la limite de de la suite U~ , n E N)
restreinte à V. Donc pour tout z E U, (J n ( z) , n E N) converge vers un élément f ( z) de F,
la convergence étant localement uniforme. La restriction à V de l'application f : U ~ F
ainsi définie est la limite de la restriction de la suite Un) à V, donc est différentiable et a
pour différentielle la limite de la restriction de la suite U~) à V. Ceci permet de conclure,
puisque la différentiabilité est une propriété locale.
D
5.10. Théorème. - Soit f une application continue d'un ouvert U d'un produit
E = E 1 x · · · x En den espaces vectoriels normés Ei, 1 ' .S i ' .S n, dans un espace
vectoriel normé F. L'application f est de classe C 1 sur U si et seulement si les n
différentielles partielles de f existent en tout point de U et sont des applications
continues de U dans .C(Ei, F), 1 ' .S i ' .S n.
Preuve : Nous ferons la démonstration pour n = 2, le cas général pouvant s'en déduire
aisément par récurrence.
Chapitre premier. Applications différentiables
5.9. Corollaire. - Soient U un ouvert connexe d'un espace vectoriel normé E, F
un espace de Banach, et Un, n EN) une suite d'applications différentiables de U
dans F, vérifiant les deux propriétés suivantes :
(i) il existe un point a EU tel que la suite (Jn(a), n EN) converge;
(ii) la suite U~ , n E N) des différentielles des applications f n converge
localement uniformément sur U vers une application g : U ~ L(E, F).
Cela signifie que tout point de U possède un voisinage sur lequel la suite
U~) converge uniformément vers g.
Alors, pour tout x E U, la suite (Jn(x), n E N) converge vers un élément, noté
J(x), de F, la convergence étant localement uniforme (ce qui signifie que tout
point de U possède un voisinage sur lequel la suite Un) converge uniformément).
De plus, l'application f : U ~ F ainsi obtenue est différentiable sur U, et sa
différentielle n'est autre que g.
Preuve : Soit A l'ensemble des points x E U tels que la suite (Jn(x), n E N)
converge. L'ensemble A est non vide, puisqu'il contient a. Soit z E U un point adhérent
à A. Ce point possède un voisinage ouvert convexe borné V c U, sur lequel la suite
U: 1 , n E N) converge uniformément. Ce voisinage rencontre A, puisque z est adhérent
à A. Soit b E V n A. En restreignant la suite Un) à V, en remplaçant a par b et x par z,
nous pouvons appliquer le théorème 5.8. Nous voyons ainsi que la suite Un) converge
uniformément sur V, et que sa limite est une application différentiable de V dans F qui
n'est autre que la limite de la suite U~, n E N) restreinte à V. Par suite, V c A, ce qui
prouve que A est fermé (puisque z E A) et ouvert (puisque voisinage de z, donc de chacun
de ses points). L'ouvert U étant supposé connexe, nous concluons que A = U.
Nous avons vu au cours de la démonstration que tout point z E U possède un voisinage
ouvert V sur lequel la suite Un , n E N) converge uniformément vers une application
différentiable de V dans F, dont la différentielle est la limite de de la suite U~ , n E N)
restreinte à V. Donc pour tout z E U, (J n ( z) , n E N) converge vers un élément f ( z) de F,
la convergence étant localement uniforme. La restriction à V de l'application f : U ~ F
ainsi définie est la limite de la restriction de la suite Un) à V, donc est différentiable et a
pour différentielle la limite de la restriction de la suite U~) à V. Ceci permet de conclure,
puisque la différentiabilité est une propriété locale.
D
5.10. Théorème. - Soit f une application continue d'un ouvert U d'un produit
E = E 1 x · · · x En den espaces vectoriels normés Ei, 1 ' .S i ' .S n, dans un espace
vectoriel normé F. L'application f est de classe C 1 sur U si et seulement si les n
différentielles partielles de f existent en tout point de U et sont des applications
continues de U dans .C(Ei, F), 1 ' .S i ' .S n.
Preuve : Nous ferons la démonstration pour n = 2, le cas général pouvant s'en déduire
aisément par récurrence.