§ S. Le théorème des accroissements finis
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Par suite, n:::;:: sup{N1 , N2 ) et m:::;:: sup{N1 , N2 ) implique
llfm(x) - fn(x)ll :::; é,
ce qui montre que la suite Un, n E N) est de Cauchy pour la norme de la convergence
uniforme sur l'intersection de U et de la boule fermée de centre a et de rayon M. L'espace
F étant complet, et le réel M > 0 étant arbitraire, ceci prouve que pour tout x E U, la
suite (Jn(x), n E N) converge vers un élément f(x) de F, et que la convergence est
uniforme sur toute partie bornée de U.
Pour tous x et y EU, met n EN,
fm(Y) - fm(x) - g(x)(y - x) = Um - fn)(y) - Um - fn)(x)
+ fn(Y) - fn(x) - f~(x)(y - x)
+ (J~(x) - g(x))(y- x).
Nous en déduisons
llfm(Y) - fm(x) - g(x)(y - x)ll :::; ll{fm - fn)(Y) - Um - fn)(x)ll
+ llfn(Y) - fn(x) - f~(x)(y - x)ll
+ llf~(x) - g(x)ll llY - xll.
En appliquant le théorème des accroissements finis à Um - f n), nous pouvons majorer le
premier terme du membre de droite de l'inégalité ci-dessus. Nous obtenons
llUm - fn)(y) - Um - fn)(x)ll:::; sup llJ:n(z) - f~(z)llllY - xll.
zE[x,y]
Considérons maintenant x comme fixé, et soit E > O. Puisque la suite (!~ , n E N)
converge uniformément, il existe N3 E N tel que n :::;:: N3 et m :::;:: N3 implique
é
sup llJ:n(z) - f~(z)ll :::; - 3 ,
zEV
donc
é
ll{fm - fn)(y) - Um - fn)(x)ll:::; 3llY - xll.
Puisque la suite (J~(x), n E N) converge vers g(x), il existe N4 E N tel que n :::;:: N4
implique
é
llf~(x) - g(x)ll :::; 3.
Fixons maintenant n, en lui imposant de vérifier n : : : ; : : sup(N3, N 4 ). D'après la définition
même de la différentielle de f n au point x, il existe T/ > 0 tel que llY - xll :::; T/ implique
é
llfn(Y) - fn(x) - f~(x)(y - x)ll:::; 3llY - xll ·
Nous avons donc, pour tout m:::;:: sup(N3 , N4 ) et tout y E U vérifiant llY - xll :::; TJ,
llfm(Y) - fm(x) - g(x)(y - x)ll :::; EllY - xll.
Faisons tendre m vers +oo. Puisque f m (y) et f m ( x) tendent, respectivement, vers J (y)
et f(x), nous obtenons l'inégalité, vérifiée pour tout y E Uîel que llY - xll :::; TJ,
llJ(y) - f(x) - g(x)(y - x)ll :::; EllY - xll ·
L'application f est donc différentiable en x et a en ce point pour différentielle g( x). D
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Par suite, n:::;:: sup{N1 , N2 ) et m:::;:: sup{N1 , N2 ) implique
llfm(x) - fn(x)ll :::; é,
ce qui montre que la suite Un, n E N) est de Cauchy pour la norme de la convergence
uniforme sur l'intersection de U et de la boule fermée de centre a et de rayon M. L'espace
F étant complet, et le réel M > 0 étant arbitraire, ceci prouve que pour tout x E U, la
suite (Jn(x), n E N) converge vers un élément f(x) de F, et que la convergence est
uniforme sur toute partie bornée de U.
Pour tous x et y EU, met n EN,
fm(Y) - fm(x) - g(x)(y - x) = Um - fn)(y) - Um - fn)(x)
+ fn(Y) - fn(x) - f~(x)(y - x)
+ (J~(x) - g(x))(y- x).
Nous en déduisons
llfm(Y) - fm(x) - g(x)(y - x)ll :::; ll{fm - fn)(Y) - Um - fn)(x)ll
+ llfn(Y) - fn(x) - f~(x)(y - x)ll
+ llf~(x) - g(x)ll llY - xll.
En appliquant le théorème des accroissements finis à Um - f n), nous pouvons majorer le
premier terme du membre de droite de l'inégalité ci-dessus. Nous obtenons
llUm - fn)(y) - Um - fn)(x)ll:::; sup llJ:n(z) - f~(z)llllY - xll.
zE[x,y]
Considérons maintenant x comme fixé, et soit E > O. Puisque la suite (!~ , n E N)
converge uniformément, il existe N3 E N tel que n :::;:: N3 et m :::;:: N3 implique
é
sup llJ:n(z) - f~(z)ll :::; - 3 ,
zEV
donc
é
ll{fm - fn)(y) - Um - fn)(x)ll:::; 3llY - xll.
Puisque la suite (J~(x), n E N) converge vers g(x), il existe N4 E N tel que n :::;:: N4
implique
é
llf~(x) - g(x)ll :::; 3.
Fixons maintenant n, en lui imposant de vérifier n : : : ; : : sup(N3, N 4 ). D'après la définition
même de la différentielle de f n au point x, il existe T/ > 0 tel que llY - xll :::; T/ implique
é
llfn(Y) - fn(x) - f~(x)(y - x)ll:::; 3llY - xll ·
Nous avons donc, pour tout m:::;:: sup(N3 , N4 ) et tout y E U vérifiant llY - xll :::; TJ,
llfm(Y) - fm(x) - g(x)(y - x)ll :::; EllY - xll.
Faisons tendre m vers +oo. Puisque f m (y) et f m ( x) tendent, respectivement, vers J (y)
et f(x), nous obtenons l'inégalité, vérifiée pour tout y E Uîel que llY - xll :::; TJ,
llJ(y) - f(x) - g(x)(y - x)ll :::; EllY - xll ·
L'application f est donc différentiable en x et a en ce point pour différentielle g( x). D