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Chapitre premier. Applications différentiables
Preuve Soit a un point de louvert connexe U sur lequel est définie l'application
considérée f. En remarquant que tout point de U est centre d'une boule ouverte contenue
dans U, et en utilisant la convexité des boules afin d'appliquer le théorème 5.6, il est facile
de montrer que l'ensemble des points x de U tels que f(x) = f(a), qui est non vide
puisqu'il contient a, est à la fois ouvert et fermé dans U, donc est égal à U.
D
Nous allons donner maintenant deux applications du théorème des accroissements finis, relatives, l'une à la convergence d'une suite d'applications différentiables et à la
différentiabilité de la limite de cette suite, l'autre aux relations entre la différentiabilité et
la con.tinuité de la différentielle d'une part, l'existence et la continuité de différentielles
partielles d'autre part.
5.8. Théorème. - Soient U un ouvert convexe d'un espace vectoriel normé E, F
un espace de Banach, et Un, n EN) une suite d'applications différentiables de U
dans F, vérifiant les deux propriétés suivantes :
(i) il existe un point a EU tel que la suite (fn(a), n EN) converge;
(ii) la suite (!~, n E N) des différentielles des applications f n converge
uniformément sur U vers une application g: U---+ .C(E, F).
Alors, pour tout x E U, la suite (fn(x), n E N) converge vers un élément, noté
f(x), de F, la convergence étant uniforme sur toute partie bornée de U. De plus,
l'application f : U ---+ F ainsi obtenue est différentiable sur U, et sa différentielle
n'est autre que g.
Preuve : Soit M un réel strictement positif, et x un point de U vérifiant llx - ail < M.
Pour tous net m E N, on a d'après le théorème des accroissements finis
llfm(x) - fn(x) - fm(a) + fn(a)ll::; sup llJ.'n(z) - f~(z)llllx - ail,
zE[a,x]
d'où
llfm(x) - fn(x)ll ::; llfm(a) - fn(a)ll + sup llJ.'n(z) - f~(z)llllx - ail·
zE[a,x]
Soit é > O. Puisque la suite (f n (a) , n E N) converge, elle est de Cauchy; il existe donc
N1 E N tel que n ~ N1 et m ~ N1 implique
é
llfm(a) - fn(a)ll ::; 2 ·
La suite (!~), n E N, étant uniformément convergente, est de Cauchy pour la norme de
la convergence uniforme; il existe donc N2 EN tel que n ~ N2 et m ~ Nz implique
é
sup llf.'n(z) - f~(z)ll ::; 2 M,
zEU
d'où, puisque llx - ail ::; M,
é
sup llf.'n(z) - f~(z)illlx - ail::; 2 ·
zE[a,x]
Chapitre premier. Applications différentiables
Preuve Soit a un point de louvert connexe U sur lequel est définie l'application
considérée f. En remarquant que tout point de U est centre d'une boule ouverte contenue
dans U, et en utilisant la convexité des boules afin d'appliquer le théorème 5.6, il est facile
de montrer que l'ensemble des points x de U tels que f(x) = f(a), qui est non vide
puisqu'il contient a, est à la fois ouvert et fermé dans U, donc est égal à U.
D
Nous allons donner maintenant deux applications du théorème des accroissements finis, relatives, l'une à la convergence d'une suite d'applications différentiables et à la
différentiabilité de la limite de cette suite, l'autre aux relations entre la différentiabilité et
la con.tinuité de la différentielle d'une part, l'existence et la continuité de différentielles
partielles d'autre part.
5.8. Théorème. - Soient U un ouvert convexe d'un espace vectoriel normé E, F
un espace de Banach, et Un, n EN) une suite d'applications différentiables de U
dans F, vérifiant les deux propriétés suivantes :
(i) il existe un point a EU tel que la suite (fn(a), n EN) converge;
(ii) la suite (!~, n E N) des différentielles des applications f n converge
uniformément sur U vers une application g: U---+ .C(E, F).
Alors, pour tout x E U, la suite (fn(x), n E N) converge vers un élément, noté
f(x), de F, la convergence étant uniforme sur toute partie bornée de U. De plus,
l'application f : U ---+ F ainsi obtenue est différentiable sur U, et sa différentielle
n'est autre que g.
Preuve : Soit M un réel strictement positif, et x un point de U vérifiant llx - ail < M.
Pour tous net m E N, on a d'après le théorème des accroissements finis
llfm(x) - fn(x) - fm(a) + fn(a)ll::; sup llJ.'n(z) - f~(z)llllx - ail,
zE[a,x]
d'où
llfm(x) - fn(x)ll ::; llfm(a) - fn(a)ll + sup llJ.'n(z) - f~(z)llllx - ail·
zE[a,x]
Soit é > O. Puisque la suite (f n (a) , n E N) converge, elle est de Cauchy; il existe donc
N1 E N tel que n ~ N1 et m ~ N1 implique
é
llfm(a) - fn(a)ll ::; 2 ·
La suite (!~), n E N, étant uniformément convergente, est de Cauchy pour la norme de
la convergence uniforme; il existe donc N2 EN tel que n ~ N2 et m ~ Nz implique
é
sup llf.'n(z) - f~(z)ll ::; 2 M,
zEU
d'où, puisque llx - ail ::; M,
é
sup llf.'n(z) - f~(z)illlx - ail::; 2 ·
zE[a,x]