§ S. Le théorème des accroissements finis
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Ce résultat ne subsiste pas si l'application f est, non plus à valeurs réelles, mais à valeurs
dans un espace vectoriel normé de dimension supérieure à 1. Il suffit pour s'en convaincre
de considérer l'application f : [O, 27r] ---+ IR. 2 définie par
f ( t) = (cos t, sin t) .
S.S. Définition. - Soient a et b deux points d'un espace vectoriel normé E. On
appelle segment d'extrémités a et b, et on note [a, b], l'ensemble des points de E
[a, b] = { a + t(b - a) ; 0 ::; t ::; 1 } .
S.6. Théorème. - Soient E et F deux espaces vectoriels normés, et f : U ---+ F une
application différentiable d'un ouvert U de E dans F. Soient a et b deux points
de U tels que le segment [a, b] soit contenu dans U. L'application f vérifie
llJ(b) - f(a)ll :' S sup llJ'(z)ll llb - ail·
zE[a,b]
En particulier, si U est convexe et s'il existe un réel A1 2' . 0 tel que, pour tout
XE U,
llJ'(x)ll :'SM,
pour tout couple (a, b) de points de U, l'application f vérifie
llf(b) - f(a)ll :' S Mllb- ail·
Preuve: Considérons l'application de l'intervalle [ü, 1] dans F:
t ~ Elle est continue sur [O, 1], différentiable en tout point t E]O, 1[ et de différentielle

Nous avons donc, pour tout t E]O, 1[,
ll'P'(t)ll :' S llJ'(a+t(b-a))llllb-all
:' S sup llf'(z)llllb- ail·
zE[a,b]
En appliquant à

ll'P(l) - zE[a,b]
D
S.7. Corollaire. - Une application différentiable d'un ouvert connexe d'un espace
vectoriel normé dans un autre espace vectoriel normé dont la différentielle est
identiquement nulle est constante.