18
Chapitre premier. Applications différentiables
ou encore
llJ(x) - f(c)ll ~ g(x) - g(c) + E(x - c).
Donc pour tout x E]c, c + 77[,
llf(x) - f(a)ll :S llf(x) - f(c)ll + llf(c) - f(a)ll
::::; g(x) - g(c) + E(x - c) + g(c) - g(a) + E(c - a)
= g(x) - g(a) + E(x - a).
Mais ceci montre que Je, c + 17[ est contenu dans A,, ce qui contredit le fait que c est
l'extrémité droite de Ae. L'hypothèse c < bayant conduit à une contradiction, nous avons
nécessairement c = b, donc
llJ(b) - f(a)ll :S g(b) - g(a) + E(b - a).
En faisant tendre E vers 0, nous obtenons
llJ(b) - f(a)ll :S g(b) - g(a).
D
5.2. Corollaire. -
Une fonction continue g, définie sur un intervalle de IR. et à
valeurs réelles, qui possède en tout point x intérieur à son intervalle de définition
une dérivée à droite g~(x) 2 0, est nécessairement non décroissante.
Preuve : Il suffit d'appliquer le théorème 5.1 en prenant pour f l'application nulle.
D
5.3. Corollaire. -
Soit f : [a, b] ~ F une application continue d'un intervalle
fermé borné [a, b] de IR. dans un espace vectoriel normé F, qui possède, en tout
point x E]a, b[, une dérivée à droite f~(x). S'il existe un réel M 2 0 tel que, pour
tout x E]a, b[,
llJ~(x)ll :SM,
alors
llJ(b) - f(a)ll :S M(b - a).
Preuve: Il suffit d'appliquer le théorème 5.1 en prenant pour g la fonction x 1-----t Mx. D
5.4. Remarques
a) Cas d'applications dérivables à gauche. - Les énoncés 5.1 à 5.3 restent valables
lorsqu'on remplace les dérivées à droite par des dérivées à gauche.
b) Théorème des accroissements finis classique. - Le théorème 5 .1 et son corollaire 5 .3
donnent des inégalités vérifiées par la différence des valeurs prises par l'application f
aux deux extrémités de son intervalle de définition. On enseigne traditionnellement en
premier cycle, sous le nom de théorème des accroissements finis, un résultat plus précis,
qui s'exprime non pas par une inégalité, mais par une égalité. Ce résultat est le suivant.
Soit f : [a, b] ~ IR. une fonction continue, définie sur un intervalle fermé et borné [a, b]
de IR., à valeurs réelles, dérivable en tout point x E]a, b[. Il existe un point c E]a, b[ tel que
f(b) - f(a) = (b - a)J'(c).
Chapitre premier. Applications différentiables
ou encore
llJ(x) - f(c)ll ~ g(x) - g(c) + E(x - c).
Donc pour tout x E]c, c + 77[,
llf(x) - f(a)ll :S llf(x) - f(c)ll + llf(c) - f(a)ll
::::; g(x) - g(c) + E(x - c) + g(c) - g(a) + E(c - a)
= g(x) - g(a) + E(x - a).
Mais ceci montre que Je, c + 17[ est contenu dans A,, ce qui contredit le fait que c est
l'extrémité droite de Ae. L'hypothèse c < bayant conduit à une contradiction, nous avons
nécessairement c = b, donc
llJ(b) - f(a)ll :S g(b) - g(a) + E(b - a).
En faisant tendre E vers 0, nous obtenons
llJ(b) - f(a)ll :S g(b) - g(a).
D
5.2. Corollaire. -
Une fonction continue g, définie sur un intervalle de IR. et à
valeurs réelles, qui possède en tout point x intérieur à son intervalle de définition
une dérivée à droite g~(x) 2 0, est nécessairement non décroissante.
Preuve : Il suffit d'appliquer le théorème 5.1 en prenant pour f l'application nulle.
D
5.3. Corollaire. -
Soit f : [a, b] ~ F une application continue d'un intervalle
fermé borné [a, b] de IR. dans un espace vectoriel normé F, qui possède, en tout
point x E]a, b[, une dérivée à droite f~(x). S'il existe un réel M 2 0 tel que, pour
tout x E]a, b[,
llJ~(x)ll :SM,
alors
llJ(b) - f(a)ll :S M(b - a).
Preuve: Il suffit d'appliquer le théorème 5.1 en prenant pour g la fonction x 1-----t Mx. D
5.4. Remarques
a) Cas d'applications dérivables à gauche. - Les énoncés 5.1 à 5.3 restent valables
lorsqu'on remplace les dérivées à droite par des dérivées à gauche.
b) Théorème des accroissements finis classique. - Le théorème 5 .1 et son corollaire 5 .3
donnent des inégalités vérifiées par la différence des valeurs prises par l'application f
aux deux extrémités de son intervalle de définition. On enseigne traditionnellement en
premier cycle, sous le nom de théorème des accroissements finis, un résultat plus précis,
qui s'exprime non pas par une inégalité, mais par une égalité. Ce résultat est le suivant.
Soit f : [a, b] ~ IR. une fonction continue, définie sur un intervalle fermé et borné [a, b]
de IR., à valeurs réelles, dérivable en tout point x E]a, b[. Il existe un point c E]a, b[ tel que
f(b) - f(a) = (b - a)J'(c).