§ 5. Le théorème des accroissements finis
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En utilisant le résultat obtenu en 4.2, on voit que f est CC-différentiable au point a si et
seulement si
ax
aY
ox (a, (3) = oy (a, (3),
Ces conditions sont connues, dans la théorie des fonctions d'une variable complexe, sous
le nom de conditions de Cauchy.
5. Le théorème des accroissements finis
Le théorème des accroissements finis est un des résultats élémentaires les plus utiles du
calcul diftërentiel. Il permet de majorer la norme de la différence des valeurs prises par
une application en deux points distincts de son domaine de définition. Nous établirons
successivement deux formes de ce théorème, relatives, la première au cas où l'application
considérée est définie sur un intervalle fermé et borné de IR (théorème 5.1), et la
seconde au cas où cette application est définie sur un ouvert d'un espace vectoriel normé
(théorème 5.6).
5.1. Théorème.- Soient f: [a, b] ~ F et g: [a, b] ~IR deux applications continues
d'un intervalle fermé borné [a, b] de IR, la première dans un espace vectoriel normé
F, la seconde dans R On suppose que f et g possèdent, en tout point x de
l'intervalle ouvert ]a, b[, des dérivées à droite Jd,(x) et g~(x) vérifiant
11/d,(x)ll :::; g~(x) ·
Alors f et g vérifient
11/(b) - f(a)ll :::; g(b) - g(a).
Preuve : Soit é > O. Posons
Ae = { x E [a, b] ; Vz E [a, x], 11/(z) - f(a)ll :::; g(z) - g(a) + E(z - a)}.
D'après sa définition, Ae est un intervalle de IR contenant a et contenu dans [a, b]. Les
applications f et g étant continues, Ae est fermé, donc contient sa borne supérieure c, qui
est aussi son extrémité droite. Supposons c < b. Nous avons, pour tout x E [a, c],
llf(x) - f(a)ll :::; g(x) - g(a) + E(x - a).
D'autre part, d'après la définition de la dérivée à droite d'une application,
Il
lim
f(x) - f(c) I l : : : ; lim g(x) - g(c)
x-+c, x>c
X - C
x-+c, x>c
X - C
Il existe donc ry > 0, auquel nous pouvons imposer de vérifier ry ::; b - c, tel que pour tout
X E]c, c + ry[,
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En utilisant le résultat obtenu en 4.2, on voit que f est CC-différentiable au point a si et
seulement si
ax
aY
ox (a, (3) = oy (a, (3),
Ces conditions sont connues, dans la théorie des fonctions d'une variable complexe, sous
le nom de conditions de Cauchy.
5. Le théorème des accroissements finis
Le théorème des accroissements finis est un des résultats élémentaires les plus utiles du
calcul diftërentiel. Il permet de majorer la norme de la différence des valeurs prises par
une application en deux points distincts de son domaine de définition. Nous établirons
successivement deux formes de ce théorème, relatives, la première au cas où l'application
considérée est définie sur un intervalle fermé et borné de IR (théorème 5.1), et la
seconde au cas où cette application est définie sur un ouvert d'un espace vectoriel normé
(théorème 5.6).
5.1. Théorème.- Soient f: [a, b] ~ F et g: [a, b] ~IR deux applications continues
d'un intervalle fermé borné [a, b] de IR, la première dans un espace vectoriel normé
F, la seconde dans R On suppose que f et g possèdent, en tout point x de
l'intervalle ouvert ]a, b[, des dérivées à droite Jd,(x) et g~(x) vérifiant
11/d,(x)ll :::; g~(x) ·
Alors f et g vérifient
11/(b) - f(a)ll :::; g(b) - g(a).
Preuve : Soit é > O. Posons
Ae = { x E [a, b] ; Vz E [a, x], 11/(z) - f(a)ll :::; g(z) - g(a) + E(z - a)}.
D'après sa définition, Ae est un intervalle de IR contenant a et contenu dans [a, b]. Les
applications f et g étant continues, Ae est fermé, donc contient sa borne supérieure c, qui
est aussi son extrémité droite. Supposons c < b. Nous avons, pour tout x E [a, c],
llf(x) - f(a)ll :::; g(x) - g(a) + E(x - a).
D'autre part, d'après la définition de la dérivée à droite d'une application,
Il
lim
f(x) - f(c) I l : : : ; lim g(x) - g(c)
x-+c, x>c
X - C
x-+c, x>c
X - C
Il existe donc ry > 0, auquel nous pouvons imposer de vérifier ry ::; b - c, tel que pour tout
X E]c, c + ry[,