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Chapitre premier. Applications différentiables
L'application de pur i) s'exprime, lorsqu'on explicite les parties réelle et imaginaire de z, sous la forme
(x + iy) ~ (-y+ ix). Lorsqu'on identifie par la matrice
( ~ ~1) .
L'application IR.-linéaire c.p est commute avec la matrice qui représente la multiplication pari, c'est-à-dire si et seulement
si
( ~ ~) ( ~ ~ 1 ) = ( ~ ~1 ) ( ~ ~) '
ou, en explicitant, si et seulement si
a= d,
b = -c.
Lorsque les espaces E et F sont normés, on note .Cc(E, F) et .CIR(E, F) les espaces des
applications, respectivement, 4.3. JR-différentielle et complexes, f une application d'un ouvert U de E dans F, et a un point de U. On dit que f
est lorsqu'on munit E et F de leurs structures d'espaces vectoriels complexes (resp., de leurs
structures d'espaces vectoriels réels sous-jacentes). La différentielle de f au point a est
alors appelée On voit immédiatement que si f est en ce point, et qu'alors sa JR-différentielle et sa Réciproquement, supposons que f soit IR.-différentiable en a, et notons c.p E .C~ ( E, F)
sa IR.-différentielle en ce point. On voit aisément que f est seulement si c.p est élément de .Cc ( E, F); lorsque c'est le cas, la n'est autre que c.p.
Considérons par exemple le cas où E = F = f(z) = X(z) + iY(z),
z E où X et Y, à valeurs réelles, sont la partie réelle et la partie imaginaire de f, respectivement.
Lorsqu'on munit à IR. 2 comme indiqué ci-dessus, l'application f s'identifie à l'application
(x,y) ~ (X(x,y), Y(x,y)).
Supposons que f soit IR.-différentiable au point a = a + i/3 E de sa IR.-différentielle en ce point est
âX
)
ây (a, /3)
âY
.
ây (a, /3)