§ 4. IR-différentiabilité et C-différentiabilité
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appelée matrice jacobienne de l'application f au point a.
4. JR-différentiabilité et C-différentiabilité
4.1. Espaces vectoriels réels et complexes. - Soit E un espace vectoriel complexe,
c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des complexes C. L'addition (x, y) f-+ x +y,
et la multiplication par les scalaires restreinte aux scalaires réels, (k,x) f-+ kx, k E lR, x
et y E E, définissent sur E une structure d'espace vectoriel réel. Cette structure est dite
sous-jacente à la structure d'espace vectoriel complexe de E.
Si l'espace vectoriel complexe E est muni d'une norme x f-+ llxll. cette application est
encore une norme lorsqu'on munit Ede la structure d'espace vectoriel réel sous-jacente.
Les propriétés topologiques et métriques de l'espace vectoriel normé E (en particulier,
le fait que E soit complet, ou ne soit pas complet) sont les mêmes, que cet espace soit
muni de sa structure d'espace vectoriel complexe, ou de la structure d'espace vectoriel
réel sous-jacènte.
Ainsi par exemple, lorsqu'on le munit de sa structure réelle sous-jacente, C s'identifie à
IR. 2 , grâce au choix de la base (pour la structure d'espace vectoriel réel) (1, i). Dans cette
identification, au scalaire complexe z = x + iy, avec x et y E IR, est associé l'élément
(x,y) de IR. 2 . Plus généralement, pour tout entier n 2: 1, en muni de sa structure réelle
sous-jacente s'identifie à JR 2 n.
De même, soit E un espace vectoriel complexe de dimension finie n, et ( e1 , ... , en) une
base de cet espace. Pour la structure réelle sous-jacente, l'espace E est de dimension 2n,
et admet pour base ( e1, ... , en, ie1, ... , ien)·
4.2. Applications JR-linéaires et C-linéaires. - Soient E et F deux espaces vectoriels
complexes. Une application cp : E ---4 F est dite C-linéaire si elle est linéaire lorsque
E et F sont munis de leurs structures d'espaces vectoriels complexes, et JR-linéaire si
elle est linéaire lorsque E et F sont munis de leurs structures d'espaces vectoriels réels
sous-jacentes.
On voit immédiatement qu'une application C-Iinéaire est aussi JR-linéaire. Réciproquement, une application JR-Iinéaire cp : E ---4 F n'est en général pas C-linéaire; on vérifie
aisément qu'elle est C-Iinéaire si et seulement si elle vérifie, pour tout x E E,
cp('ix) = icp( X) .
Considérons par exemple le cas où E = F = C, que l'on identifiera à JR. 2 comme indiqué
ci-dessus lorsqu'on le munira de sa structure d'espace vectoriel réel sous-jacente. Une
application JR-linéaire cp: JR. 2 ---4 JR. 2 s'exprime sous la forme
cp: (x, y) f-+ (ax + by, ex+ dy).
Elle est représentée par la matrice
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appelée matrice jacobienne de l'application f au point a.
4. JR-différentiabilité et C-différentiabilité
4.1. Espaces vectoriels réels et complexes. - Soit E un espace vectoriel complexe,
c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des complexes C. L'addition (x, y) f-+ x +y,
et la multiplication par les scalaires restreinte aux scalaires réels, (k,x) f-+ kx, k E lR, x
et y E E, définissent sur E une structure d'espace vectoriel réel. Cette structure est dite
sous-jacente à la structure d'espace vectoriel complexe de E.
Si l'espace vectoriel complexe E est muni d'une norme x f-+ llxll. cette application est
encore une norme lorsqu'on munit Ede la structure d'espace vectoriel réel sous-jacente.
Les propriétés topologiques et métriques de l'espace vectoriel normé E (en particulier,
le fait que E soit complet, ou ne soit pas complet) sont les mêmes, que cet espace soit
muni de sa structure d'espace vectoriel complexe, ou de la structure d'espace vectoriel
réel sous-jacènte.
Ainsi par exemple, lorsqu'on le munit de sa structure réelle sous-jacente, C s'identifie à
IR. 2 , grâce au choix de la base (pour la structure d'espace vectoriel réel) (1, i). Dans cette
identification, au scalaire complexe z = x + iy, avec x et y E IR, est associé l'élément
(x,y) de IR. 2 . Plus généralement, pour tout entier n 2: 1, en muni de sa structure réelle
sous-jacente s'identifie à JR 2 n.
De même, soit E un espace vectoriel complexe de dimension finie n, et ( e1 , ... , en) une
base de cet espace. Pour la structure réelle sous-jacente, l'espace E est de dimension 2n,
et admet pour base ( e1, ... , en, ie1, ... , ien)·
4.2. Applications JR-linéaires et C-linéaires. - Soient E et F deux espaces vectoriels
complexes. Une application cp : E ---4 F est dite C-linéaire si elle est linéaire lorsque
E et F sont munis de leurs structures d'espaces vectoriels complexes, et JR-linéaire si
elle est linéaire lorsque E et F sont munis de leurs structures d'espaces vectoriels réels
sous-jacentes.
On voit immédiatement qu'une application C-Iinéaire est aussi JR-linéaire. Réciproquement, une application JR-Iinéaire cp : E ---4 F n'est en général pas C-linéaire; on vérifie
aisément qu'elle est C-Iinéaire si et seulement si elle vérifie, pour tout x E E,
cp('ix) = icp( X) .
Considérons par exemple le cas où E = F = C, que l'on identifiera à JR. 2 comme indiqué
ci-dessus lorsqu'on le munira de sa structure d'espace vectoriel réel sous-jacente. Une
application JR-linéaire cp: JR. 2 ---4 JR. 2 s'exprime sous la forme
cp: (x, y) f-+ (ax + by, ex+ dy).
Elle est représentée par la matrice