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Chapitre premier. Applications différentiables
l'application u2 1--t f~ 2 (a)(u2) = f'(a)(O,u2). En remarquant que J'(a) est linéaire
et que u = ( u 1 , u 2 ) = ( u 1 , 0) + (0, u 2 ), nous obtenons la formule ( * ).
D
3.3. Remarques
a) Cas d'un produit den facteurs. - La proposition précédente se généralise aisément
au cas où E est le produit den espaces vectoriels normés Ei, 1 ::::; i ::::; n.
b) D'autres notations. - Soit f une application différentiable définie sur un ouvert
de !Rn, et à valeurs dans IR. Soient x 1 , ... , xn les coordonnées d'un point x de !Rn. En
Géométrie différentielle, ainsi qu'en Mécanique et en Physique, la différentielle de f est
souvent notée df, plutôt que Df, ou que f' comme nous l'avons fait. L'équivalent de la
formule (*)de la proposition 3.2 (mais avec n facteurs au lieu de deux) s'écrit alors sous
la forme, facile à mémoriser,
n
8J i
df = L 8xi dx .
i=l
Dans cette expression, dxi désigne la différentielle de la i-ème fonction coordonnée,
x 1--t xi. La fonction i-ème coordonnée est la forme linéaire projection de !Rn sur son
i-ème facteur. D'après 1.1 O.b, dxi est l'application de U dans le dual de !Rn dont la valeur,
constante, est la projection de !Rn sur son i-ème facteur. Les valeurs des dxi (1 ::::; i ::::; n)
en un point quelconque a de U forment une base du dual de !Rn. La formule ci-dessus
montre que les composantes de df (a) dans cette base sont les :~ (a), 1 ::::; i ::::; n.
c) Différentielles partielles et différentiabilité. - L'existence des différentielles partielles de f au point an' implique pas la différentiabilité de f en ce point.L'exemple suivant,
dû à Cauchy, le montre clairement. Considérons l'application f : IH' . 2 ----> IR, définie par
{
f(x,y)=x 2 7-y 2 si (x,y)f.(0,0),
f(0,0)=0.
Les deux applications partielles associées à f au point (0, 0) sont identiquement nulles,
donc les deux différentielles partielles de f en ce point existent et sont nulles. Cependant f
n'est pas continue en (0, 0), donc a fortiori n'est pas différentiable en ce point.
Nous verrons plus loin quel' existence des différentielles partielles de f, non pas seulement
en un point, mais en tout point de U, et leur continuité sur cet ouvert de E 1 x E 2 , équivaut
à la différentiabilité de f et à la continuité de sa différentielle sur U.
d) Matrice jacobienne. - Soit f = (!1 , ... , fp) une application différentiable, définie
sur un ouvert U de !Rn et à valeurs dans JRP. Sa différentielle, en un point a = ( a 1 , ... , an)
de U, est l'application linéaire de !Rn dans JRP ayant pour matrice
8fi(a1, ... ,an)
8fi(a1, ... ,an)
8x1
axn
8fp(a1." ... ,an)
8x1
8fp(ai,· ... , an)
axn
Chapitre premier. Applications différentiables
l'application u2 1--t f~ 2 (a)(u2) = f'(a)(O,u2). En remarquant que J'(a) est linéaire
et que u = ( u 1 , u 2 ) = ( u 1 , 0) + (0, u 2 ), nous obtenons la formule ( * ).
D
3.3. Remarques
a) Cas d'un produit den facteurs. - La proposition précédente se généralise aisément
au cas où E est le produit den espaces vectoriels normés Ei, 1 ::::; i ::::; n.
b) D'autres notations. - Soit f une application différentiable définie sur un ouvert
de !Rn, et à valeurs dans IR. Soient x 1 , ... , xn les coordonnées d'un point x de !Rn. En
Géométrie différentielle, ainsi qu'en Mécanique et en Physique, la différentielle de f est
souvent notée df, plutôt que Df, ou que f' comme nous l'avons fait. L'équivalent de la
formule (*)de la proposition 3.2 (mais avec n facteurs au lieu de deux) s'écrit alors sous
la forme, facile à mémoriser,
n
8J i
df = L 8xi dx .
i=l
Dans cette expression, dxi désigne la différentielle de la i-ème fonction coordonnée,
x 1--t xi. La fonction i-ème coordonnée est la forme linéaire projection de !Rn sur son
i-ème facteur. D'après 1.1 O.b, dxi est l'application de U dans le dual de !Rn dont la valeur,
constante, est la projection de !Rn sur son i-ème facteur. Les valeurs des dxi (1 ::::; i ::::; n)
en un point quelconque a de U forment une base du dual de !Rn. La formule ci-dessus
montre que les composantes de df (a) dans cette base sont les :~ (a), 1 ::::; i ::::; n.
c) Différentielles partielles et différentiabilité. - L'existence des différentielles partielles de f au point an' implique pas la différentiabilité de f en ce point.L'exemple suivant,
dû à Cauchy, le montre clairement. Considérons l'application f : IH' . 2 ----> IR, définie par
{
f(x,y)=x 2 7-y 2 si (x,y)f.(0,0),
f(0,0)=0.
Les deux applications partielles associées à f au point (0, 0) sont identiquement nulles,
donc les deux différentielles partielles de f en ce point existent et sont nulles. Cependant f
n'est pas continue en (0, 0), donc a fortiori n'est pas différentiable en ce point.
Nous verrons plus loin quel' existence des différentielles partielles de f, non pas seulement
en un point, mais en tout point de U, et leur continuité sur cet ouvert de E 1 x E 2 , équivaut
à la différentiabilité de f et à la continuité de sa différentielle sur U.
d) Matrice jacobienne. - Soit f = (!1 , ... , fp) une application différentiable, définie
sur un ouvert U de !Rn et à valeurs dans JRP. Sa différentielle, en un point a = ( a 1 , ... , an)
de U, est l'application linéaire de !Rn dans JRP ayant pour matrice
8fi(a1, ... ,an)
8fi(a1, ... ,an)
8x1
axn
8fp(a1." ... ,an)
8x1
8fp(ai,· ... , an)
axn