§ 3. Applications définies sur un ouvert d'un produit
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Si la première application partielle associée à f au point a est différentiable au point
ai E Ui. sa différentielle en ce point est appelée différentielle partielle de f par rapport
à sa première variable, ou par rapport à xi, au point a, et notée f~ 1 (a), ou Dif(a). De
même, si la seconde application partielle associée à f au point a est différentiable au point
a2 E U2, sa différentielle en ce point est appelée différentielle partielle de f par rapport
à sa seconde variable, ou par rapport à x 2, au point a, et notée f~ 2 (a), ou D2f (a).
Il importe de remarquer que f~ 1 (a) E C(Ei, F) et que f~ 2 (a) E C(E2, F).
Les considérations qui précèdent s'étendent sans difficulté au cas d'une application définie
sur un ouvert d'un produit E = TI~=i Ei den espaces vectoriels normés.
b) Dérivées partielles. - Soit U un ouvert de JR.n, et f : U --+ F une application de
U dans un espace vectoriel normé F. Soit a = (ai, ... , an) un point de U. On appelle
dérivée partielle de f au point a par rapport à sa première variable, lorsqu'elle existe,
la dérivée, au point ai, de l'application partielle xi ~ J(xi,a2, ... ,an). On la note
f ' (
)
âf(ai, ... , an) C'
')'
d I'
F
x ai, ... , an , ou encore
ll
.
est un e ement e espace .
1
uXi
Pour chaque i (1 :::; i :::; n), on définit de même la dérivée partielle de f au point a par
,
. ,
. bl
, f' (
)
âf(ai, ... ,an)
rapport a sa i-eme van a e, notee x. ai, ... , an , ou encore
ll
•
'
UXi
Ainsi que nous l'avons vu en 1.5, l'existence de la dérivée partielle de f au point a par
rapport à si i-ème variable équivaut à l'existence, en ce point, de la différentielle partielle
de f par rapport à sa i-ème variable, et moyennant l'isomorphisme canonique de C(JR, F)
sur F, la dérivée partielle de f et la différentielle partielle de f par rapport à sa i-ème
variable au point a s'identifient. Le léger abus de notations consistant à les désigner toutes
deux par f~; (ai, ... , an) ne risque donc pas d'avoir de conséquence fâcheuse.
3.2. Proposition. - Si l'application f est différentiable au point a= (ai, a2 ) E U,
les deux applications partielles associées à f au point a sont différentiables,
respectivement au point ai E Ui et au point a2 E U2, et on a, entre la différentielle
de f en a et ses différentielles partielles en ce point, la relation
Preuve : La première application partielle, xi ~ f (xi, a2), est la composée de
l'application injective xi~ (xi,a2) et de l'application f. L'application xi~ (xi,a2)
est différentiable en tout point, puisque ses deux composantes le sont. Sa différentielle
au point ai est l'application linéaire de Ei dans Ei x E2 : ui ~ (ui, 0). D'autre part,
f est, par hypothèse, différentiable au point a = (ai, a2)· D'après 1.8, l'application
partielle xi ~ J(xi, a2) est différentiable en a 1 . Sa différentielle en ce point est
l'application u 1 ~ f~ 1 (a)(u1) = f'(a)(ui, 0). De même, la seconde application partielle x 2 ~ f(a 1, x 2) est différentiable en a2, et sa différentielle en ce point est
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Si la première application partielle associée à f au point a est différentiable au point
ai E Ui. sa différentielle en ce point est appelée différentielle partielle de f par rapport
à sa première variable, ou par rapport à xi, au point a, et notée f~ 1 (a), ou Dif(a). De
même, si la seconde application partielle associée à f au point a est différentiable au point
a2 E U2, sa différentielle en ce point est appelée différentielle partielle de f par rapport
à sa seconde variable, ou par rapport à x 2, au point a, et notée f~ 2 (a), ou D2f (a).
Il importe de remarquer que f~ 1 (a) E C(Ei, F) et que f~ 2 (a) E C(E2, F).
Les considérations qui précèdent s'étendent sans difficulté au cas d'une application définie
sur un ouvert d'un produit E = TI~=i Ei den espaces vectoriels normés.
b) Dérivées partielles. - Soit U un ouvert de JR.n, et f : U --+ F une application de
U dans un espace vectoriel normé F. Soit a = (ai, ... , an) un point de U. On appelle
dérivée partielle de f au point a par rapport à sa première variable, lorsqu'elle existe,
la dérivée, au point ai, de l'application partielle xi ~ J(xi,a2, ... ,an). On la note
f ' (
)
âf(ai, ... , an) C'
')'
d I'
F
x ai, ... , an , ou encore
ll
.
est un e ement e espace .
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uXi
Pour chaque i (1 :::; i :::; n), on définit de même la dérivée partielle de f au point a par
,
. ,
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)
âf(ai, ... ,an)
rapport a sa i-eme van a e, notee x. ai, ... , an , ou encore
ll
•
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UXi
Ainsi que nous l'avons vu en 1.5, l'existence de la dérivée partielle de f au point a par
rapport à si i-ème variable équivaut à l'existence, en ce point, de la différentielle partielle
de f par rapport à sa i-ème variable, et moyennant l'isomorphisme canonique de C(JR, F)
sur F, la dérivée partielle de f et la différentielle partielle de f par rapport à sa i-ème
variable au point a s'identifient. Le léger abus de notations consistant à les désigner toutes
deux par f~; (ai, ... , an) ne risque donc pas d'avoir de conséquence fâcheuse.
3.2. Proposition. - Si l'application f est différentiable au point a= (ai, a2 ) E U,
les deux applications partielles associées à f au point a sont différentiables,
respectivement au point ai E Ui et au point a2 E U2, et on a, entre la différentielle
de f en a et ses différentielles partielles en ce point, la relation
Preuve : La première application partielle, xi ~ f (xi, a2), est la composée de
l'application injective xi~ (xi,a2) et de l'application f. L'application xi~ (xi,a2)
est différentiable en tout point, puisque ses deux composantes le sont. Sa différentielle
au point ai est l'application linéaire de Ei dans Ei x E2 : ui ~ (ui, 0). D'autre part,
f est, par hypothèse, différentiable au point a = (ai, a2)· D'après 1.8, l'application
partielle xi ~ J(xi, a2) est différentiable en a 1 . Sa différentielle en ce point est
l'application u 1 ~ f~ 1 (a)(u1) = f'(a)(ui, 0). De même, la seconde application partielle x 2 ~ f(a 1, x 2) est différentiable en a2, et sa différentielle en ce point est