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Chapitre premier. Applications différentiables
2.3. Remarques
a) Expression de fa différentielle. - La différentielle de f en a peut s'exprimer, au
moyen des différentielles de fi et de h en a, sous la forme
Df(a) = u1 o Dfi(a) + u2 o Dh(a),
où u1 : F1 - F et u2 : F2 - F sont les injections canoniques y1 f--+ (y1, 0) et
Y2 f--+ ( 0, Y2), respectivement.
b) Produit den facteurs. -- La proposition 2.2 se généralise immédiatement au cas où
F = F 1 x F 2 x · · · x Fn est le produit d'un nombre fini quelconque n d'espaces vectoriels
normés.
2.4. Application : différentielle d'un produit. - Soient E un espace vectoriel normé
sur le corps OC = ~ ou C, f et g deux applications d'un ouvert U de E dans OC, et a un
point de U. Posons h = f g. L'application h est composée de(!, g) : U - OC x li{, et de
lapplication : OC x OC - li{, (Y1, Y2) = Yi y2, qui est bilinéaire continue. Si f et g
sont différentiables en a, h = f g l'est aussi et nous avons, pour tout u E E, laformule de
Leibniz,
Dh(a)(u) = f(a) Dg(a)(u) + g(a) Df(a)(u).
La même règle s'étend au cas où f : U - F et g : U - G sont deux applications de U
dans des espaces vectoriels normés F et G, respectivement, et où : F x G - H est
une application bilinéaire continue de F x G dans un espace vectoriel normé H : si f et g
sont différentiables en a, h = o (!, g) l'est aussi et on a, pour tout u E E,
Dh(a)(u) = (f(a),Dg(a)(u)) + (Df(a)(u),g(a)).
3. Applications définies sur un ouvert d'un produit
3.1. Applications partielles et différentielles partielles
a) Différentielles partielles. - Soit U un ouvert d'un produit E = E1 x E 2 de deux
espaces vectoriels normés E 1 et E 2 , et f : U - F une application de U dans un
troisième espace vectoriel normé F. On note f comme une fonction de deux variables,
(xi, x2) f--+ f(x1, x2).
Soit a= (ai, a 2 ) un point de U. On appelle première application partielle associée à f
au point a, lapplication
Elle est définie sur l'ouvert de Ei
U1 = {x1EEi1 (xi,a2) EU}.
De même, on appelle seconde application partielle associée à f au point a, l'application
x2 f--+ f(ai,x2).
Elle est définie sur l'ouvert de E 2
U2 = { x2 E E2 I (ai,x2) EU}.
Chapitre premier. Applications différentiables
2.3. Remarques
a) Expression de fa différentielle. - La différentielle de f en a peut s'exprimer, au
moyen des différentielles de fi et de h en a, sous la forme
Df(a) = u1 o Dfi(a) + u2 o Dh(a),
où u1 : F1 - F et u2 : F2 - F sont les injections canoniques y1 f--+ (y1, 0) et
Y2 f--+ ( 0, Y2), respectivement.
b) Produit den facteurs. -- La proposition 2.2 se généralise immédiatement au cas où
F = F 1 x F 2 x · · · x Fn est le produit d'un nombre fini quelconque n d'espaces vectoriels
normés.
2.4. Application : différentielle d'un produit. - Soient E un espace vectoriel normé
sur le corps OC = ~ ou C, f et g deux applications d'un ouvert U de E dans OC, et a un
point de U. Posons h = f g. L'application h est composée de(!, g) : U - OC x li{, et de
lapplication : OC x OC - li{, (Y1, Y2) = Yi y2, qui est bilinéaire continue. Si f et g
sont différentiables en a, h = f g l'est aussi et nous avons, pour tout u E E, laformule de
Leibniz,
Dh(a)(u) = f(a) Dg(a)(u) + g(a) Df(a)(u).
La même règle s'étend au cas où f : U - F et g : U - G sont deux applications de U
dans des espaces vectoriels normés F et G, respectivement, et où : F x G - H est
une application bilinéaire continue de F x G dans un espace vectoriel normé H : si f et g
sont différentiables en a, h = o (!, g) l'est aussi et on a, pour tout u E E,
Dh(a)(u) = (f(a),Dg(a)(u)) + (Df(a)(u),g(a)).
3. Applications définies sur un ouvert d'un produit
3.1. Applications partielles et différentielles partielles
a) Différentielles partielles. - Soit U un ouvert d'un produit E = E1 x E 2 de deux
espaces vectoriels normés E 1 et E 2 , et f : U - F une application de U dans un
troisième espace vectoriel normé F. On note f comme une fonction de deux variables,
(xi, x2) f--+ f(x1, x2).
Soit a= (ai, a 2 ) un point de U. On appelle première application partielle associée à f
au point a, lapplication
Elle est définie sur l'ouvert de Ei
U1 = {x1EEi1 (xi,a2) EU}.
De même, on appelle seconde application partielle associée à f au point a, l'application
x2 f--+ f(ai,x2).
Elle est définie sur l'ouvert de E 2
U2 = { x2 E E2 I (ai,x2) EU}.