§ 2. Applications à valeurs dans un produit
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2. Applications à valeurs dans un produit
2.1. Composantes d'une application. - Soit U un ouvert d'un espace vectoriel normé
E, et F = F 1 x Fz un produit de deux espaces vectoriels normés F 1 et Fz. On sait que
F est un espace vectoriel, qu'on peut munir de diverses normes équivalentes, par exemple
Il (Y1, Yz) Il = sup(lly1 Il, llYz 11) (voir par exemple [T.IX.1.3]). L'espace .C(E, F1 x Fz) est
isomorphe, par un isomorphisme préservant la norme, à .C(E, Fi) x .C(E, Fz). Soient
p 1 : F ---> F 1 et pz : F ---> Fz les projections. Ce sont des applications linéaires continues.
Soit f : U---> F une application d'un ouvert U de E dans F. Les applications fi = p1 of
et fz = pz of de l'ouvert U, respectivement, dans les espaces F 1 et Fz, sont appelées
composantes de l'application f.
L'application f peut s'exprimer au moyen de ses composantes, sous la forme
f = U1 o fi + Uz o fz ,
où u 1 : F 1 ---> F et uz : Fz ---> F sont les injections canoniques, définies par
u1(yi) = (y1,0), Uz(Yz) = (0,yz), YI E F1, Yz E Fz.
Remarquons que u 1 et uz sont des applications linéaires continues.
2.2. Proposition. - Une application f de U dans F = F1 x Fz est différentiable
en a E U si et seulement si fi = P1 o f et fz = pz o f sont différentiables en a.
Lorsque c'est le cas, on a
Df(a) = (Dfi(a),Dfz(a)), Dfi(a) = P1 o Df(a), Dfz(a) =pz o Df(a).
De même, f est différentiable (resp., de classe C 1 ) dans U, si et seulement si fi et
fz le sont.
Preuve : Supposons f différentiable au point a. Les projections p1 et pz, étant linéaires et
continues, sont différentiables ( 1.10.b ), et nous avons
D !1 (a) = D(p1 o f)(a) =Dpi (f (a)) o D f(a) = P1 o D f(a),
et, de même,
Dfz(a) =pzoDJ(a).
Réciproquement, supposons fi et fz différentiables en a. Munissons F 1 x Fz, par exemple,
de la norme jj(y1, yz)jj = sup(llY1!!, llYzll). et posons, pour tout u E E,
(u) = (Dfi(a)(u),Dfz(a)(u)).
Nous avons, pour tout x E U,
Jjf(x) - f(a) - (x - a)jj = sup Jlfi(x) - fi(a) - Dfi(a)(x - a)jj
iE{ l,Z}
= o(llx - ail) ·
Cela prouve que f est différentiable en a et admet en ce point pour différentielle.
Les résultats concernant les cas où f est différentiable dans U, ou de classe C 1 dans U,
s'en déduisent immédiatement, car D f = (D fi, D fz) est continue si et seulement si ses
deux composantes le sont.
D
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2. Applications à valeurs dans un produit
2.1. Composantes d'une application. - Soit U un ouvert d'un espace vectoriel normé
E, et F = F 1 x Fz un produit de deux espaces vectoriels normés F 1 et Fz. On sait que
F est un espace vectoriel, qu'on peut munir de diverses normes équivalentes, par exemple
Il (Y1, Yz) Il = sup(lly1 Il, llYz 11) (voir par exemple [T.IX.1.3]). L'espace .C(E, F1 x Fz) est
isomorphe, par un isomorphisme préservant la norme, à .C(E, Fi) x .C(E, Fz). Soient
p 1 : F ---> F 1 et pz : F ---> Fz les projections. Ce sont des applications linéaires continues.
Soit f : U---> F une application d'un ouvert U de E dans F. Les applications fi = p1 of
et fz = pz of de l'ouvert U, respectivement, dans les espaces F 1 et Fz, sont appelées
composantes de l'application f.
L'application f peut s'exprimer au moyen de ses composantes, sous la forme
f = U1 o fi + Uz o fz ,
où u 1 : F 1 ---> F et uz : Fz ---> F sont les injections canoniques, définies par
u1(yi) = (y1,0), Uz(Yz) = (0,yz), YI E F1, Yz E Fz.
Remarquons que u 1 et uz sont des applications linéaires continues.
2.2. Proposition. - Une application f de U dans F = F1 x Fz est différentiable
en a E U si et seulement si fi = P1 o f et fz = pz o f sont différentiables en a.
Lorsque c'est le cas, on a
Df(a) = (Dfi(a),Dfz(a)), Dfi(a) = P1 o Df(a), Dfz(a) =pz o Df(a).
De même, f est différentiable (resp., de classe C 1 ) dans U, si et seulement si fi et
fz le sont.
Preuve : Supposons f différentiable au point a. Les projections p1 et pz, étant linéaires et
continues, sont différentiables ( 1.10.b ), et nous avons
D !1 (a) = D(p1 o f)(a) =Dpi (f (a)) o D f(a) = P1 o D f(a),
et, de même,
Dfz(a) =pzoDJ(a).
Réciproquement, supposons fi et fz différentiables en a. Munissons F 1 x Fz, par exemple,
de la norme jj(y1, yz)jj = sup(llY1!!, llYzll). et posons, pour tout u E E,
(u) = (Dfi(a)(u),Dfz(a)(u)).
Nous avons, pour tout x E U,
Jjf(x) - f(a) - (x - a)jj = sup Jlfi(x) - fi(a) - Dfi(a)(x - a)jj
iE{ l,Z}
= o(llx - ail) ·
Cela prouve que f est différentiable en a et admet en ce point pour différentielle.
Les résultats concernant les cas où f est différentiable dans U, ou de classe C 1 dans U,
s'en déduisent immédiatement, car D f = (D fi, D fz) est continue si et seulement si ses
deux composantes le sont.
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