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Chapitre premier. Applications différentiables
Preuve : Nous traiterons par exemple le cas des applications différentiables en un point a
de U; celui des applications différentiables sur U s'en déduit immédiatement.
Soient f : U---+ F et g : U---+ F deux applications différentiables en a, D J(a) et Dg( a)
leurs différentielles en ce point, et À E OC un scalaire. Nous avons
J(x)-f(a)-Df(a)(x-a) = o(llx-ajj), g(x)-g(a)-Dg(a)(x-a) = o(jl.?:-ajl).
En utilisant 1.2.b, nous en déduisons
(J + g)(x) - (J + g)(a) - (Df(a) + Dg(a))(x - a)= o(ilx - ail),
Àf(x) - Àf(a) - ÀDf(a)(x - a)= o(ilx - ail),
ce qui prouve que f + g et Àf sont différentiables en a et ont pour différentielle en ce
point, respectivement, Df(a) + Dg(a) et ÀDf(a).
D
1.10. Différentielles de fonctions particulières
a) Applications constantes. - Toute application constante est différentiable, et sa
différentielle est identiquement nulle.
b) Applications linéaires continues. - Une application linéaire continue f E C(E, F)
est différentiable en tout point a de E, et sa différentielle en ce point est f. On a en effet
f(x) - f(a) - f(x - a)= O.
c) Applications multilinéaires continues. - Une application bilinéaire continue
f E C(E1 , E 2 ; F) est différentiable en tout point (a1, a 2) E E 1 x E 2, et sa différentielle
en ce point est l'application linéaire de E 1 x E 2 dans F:
(hi, h2) t--t D f (a1, a2)(h1, h2) = f (h1, a2) + f (a1, h2) .
L'application de E1 x E2 dans F: (h1,h2) t--t f(h1,a2) + J(a1,h2) est visiblement
linéaire. Montrons qu'elle est continue. Nous avons
Prenons par exemple pour norme, sur l'espace produit E1 x E2,
Nous pouvons alors écrire
llJ(h1, a2) + f(a1, h2)11:::; ilfll sup(lla1i1, 1ia2il) llhll,
ce qui prouve la continuité de cette application linéaire. D'autre part, puisque f est
bilinéaire, nous avons
donc
ce qui prouve le résultat annoncé.
Cette propriété se généralise immédiatement au cas d'une application multilinéaire
continue f E C(E1, ... , En ; F).