§ 1. La notion de différentielle
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D'autre part,
lll(x) - bll = llDl(a)(x - a)+ A(x)ll :S llDl(a)ll llx - ail+ llA(x)ll · (**)
Nous allons voir que, compte tenu de B (f (x)) = o(lll (x) - bll). cette inégalité implique
B(f(x)) = o(llx - all). Soit en effet e > O. Posons ei = e(l + llDl(a)llri.
Puisque B(y) = o(llY - bll), il existe ' fJ > 0 tel que y E V et llY - bll :S ' fJ implique
llB(y)ll :S eillY - bll· Puisque A(x) = o(llx - ail), il existe 'f/i > 0 tel que x E U et
llx - ail :S 'f}i implique llA(x) Il :S llx - all, donc, d'après ( ** ),
lll(x) - bll :S (1 + llDl(a)ll)llx - ail·
Posons ' f/2 = inf('f/i,'f/(l + llDl(a)llri). Alors x E Un 1-i(V) et llx - ail :S ' f/2
implique llJ(x) - bll :S 'f/, donc
llB(f(x)) Il :Sei (1 + llDl(a)ll) llx - ail= ellx - ail,
ce qui prouve que B(f(x)) = o(llx - ail) Nous avons prouvé que chacun des deux
termes du membre de droite de (*)est o(llx - ail), donc que le membre de gauche de cette
égalité est lui aussi o(llx - a JI), ce qui montre que go I est différentiable en a et a pour
différentielle en ce point Dg (f (a)) o DI (a).
Supposons maintenant I différentiable sur U et g différentiable sur V; le résultat qui
précède montre que g o I est différentiable en tout point x de U n 1-i (V), et a pour
différentielle en ce point Dg(! ( x)) o DI ( x).
Supposons enfin / et g de classe ci. L'application de Un 1-i(V) dans C(E, G),
x 1--+ Dg(f (x)) o DI (x), est la composée des applications suivantes :
- l'application de Un 1-i (V) dans F x C(E, F), x 1--+ (f (x ), DI (x) ), qui est continue
car ses deux composantes le sont;
- l'application de V x C(E, F) dans C(F, G) x C(E, F), (y, A) 1--+ (Dg(y), A), qui est
continue car ses deux composantes le sont;
- l'application de C(F, G) x C(E, F) dans C(E, G), (B, A) 1--+ Bo A, qui est bilinéaire
continue.
Cette application, qui n'est autre que D(g o !), est donc continue; autrement dit,
l'application go I est de classe ci.
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1.9. Proposition : linéarité de la différentiation. -
Soient E et F deux espaces
vectoriels normés, et U un ouvert de E. L'ensemble des applications de U dans F
qui sont différentiables en un point a donné de U (resp., qui sont différentiables
sur U) est un espace vectoriel, et l'application qui associe, à chaque application I
élément de cet espace, sa différentielle D l(a) en a (resp., sa différentielle D !), est
linéaire.
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D'autre part,
lll(x) - bll = llDl(a)(x - a)+ A(x)ll :S llDl(a)ll llx - ail+ llA(x)ll · (**)
Nous allons voir que, compte tenu de B (f (x)) = o(lll (x) - bll). cette inégalité implique
B(f(x)) = o(llx - all). Soit en effet e > O. Posons ei = e(l + llDl(a)llri.
Puisque B(y) = o(llY - bll), il existe ' fJ > 0 tel que y E V et llY - bll :S ' fJ implique
llB(y)ll :S eillY - bll· Puisque A(x) = o(llx - ail), il existe 'f/i > 0 tel que x E U et
llx - ail :S 'f}i implique llA(x) Il :S llx - all, donc, d'après ( ** ),
lll(x) - bll :S (1 + llDl(a)ll)llx - ail·
Posons ' f/2 = inf('f/i,'f/(l + llDl(a)llri). Alors x E Un 1-i(V) et llx - ail :S ' f/2
implique llJ(x) - bll :S 'f/, donc
llB(f(x)) Il :Sei (1 + llDl(a)ll) llx - ail= ellx - ail,
ce qui prouve que B(f(x)) = o(llx - ail) Nous avons prouvé que chacun des deux
termes du membre de droite de (*)est o(llx - ail), donc que le membre de gauche de cette
égalité est lui aussi o(llx - a JI), ce qui montre que go I est différentiable en a et a pour
différentielle en ce point Dg (f (a)) o DI (a).
Supposons maintenant I différentiable sur U et g différentiable sur V; le résultat qui
précède montre que g o I est différentiable en tout point x de U n 1-i (V), et a pour
différentielle en ce point Dg(! ( x)) o DI ( x).
Supposons enfin / et g de classe ci. L'application de Un 1-i(V) dans C(E, G),
x 1--+ Dg(f (x)) o DI (x), est la composée des applications suivantes :
- l'application de Un 1-i (V) dans F x C(E, F), x 1--+ (f (x ), DI (x) ), qui est continue
car ses deux composantes le sont;
- l'application de V x C(E, F) dans C(F, G) x C(E, F), (y, A) 1--+ (Dg(y), A), qui est
continue car ses deux composantes le sont;
- l'application de C(F, G) x C(E, F) dans C(E, G), (B, A) 1--+ Bo A, qui est bilinéaire
continue.
Cette application, qui n'est autre que D(g o !), est donc continue; autrement dit,
l'application go I est de classe ci.
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1.9. Proposition : linéarité de la différentiation. -
Soient E et F deux espaces
vectoriels normés, et U un ouvert de E. L'ensemble des applications de U dans F
qui sont différentiables en un point a donné de U (resp., qui sont différentiables
sur U) est un espace vectoriel, et l'application qui associe, à chaque application I
élément de cet espace, sa différentielle D l(a) en a (resp., sa différentielle D !), est
linéaire.