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Chapitre premier. Applications différentiables
d) Dérivées à droite et à gauche. - Dans les hypothèses de lexemple 1.5, il est parfois
utile de généraliser la notion de dérivée, et de définir les dérivées à droite et à gauche de
l au point a comme étant, respectivement, les limites, lorsqu'elles existent,
lim
l(x) - l(a)
et
lim
l(x) - l(a)
X-foa, x>a
x-a
x-+a, x x-a
L'application l est différentiable en a si et seulement si elle possède en ce point des
dérivées à gauche et à droite égales; lorsque c'est le cas, la valeur commune ij5 de ces
dérivées à droite et à gauche est la dérivé (au sens usuel) del en ce point; la différentielle
de l au point a est alors l'application linéaire de lR dans F : x ~ La notion de dérivée à droite conserve un sens lorsque le point a est l'extrémité gauche
de l'intervalle U (qui n'est plus supposé ouvert). De même, la notion de dérivée à gauche
conserve un sens lorsque le point a est l'extrémité droite de U.
1.7. Définition. - On dit qu'une application l d'un ouvert U de l'espace vectoriel
normé E dans l'espace vectoriel normé F est différentiable dans U, ou, plus
brièvement, différentiable, si elle est différentiable en tout point de U. Dans ce cas,
on note Dl ( x), ou aussi f' ( x), sa différentielle au point x de U. On dit que l est de
classe ci (dans u)' ou continûment différentiable (dans u)' si elle est différentiable
dans U et si l'application de U dans .C(E, F) : x ~ Dl(x), est continue.
1.8. Proposition: différentielle d'une application composée. - Soient E, F, G trois
espaces vectoriels normés, U un ouvert de E, V un ouvert de F, l : U --+ F et
g : V --+ G deux applications, et a un point de U tel que l(a) appartienne à V. On
suppose l différentiable en a et g différentiable en l(a). Alors l'application go l
est différentiable en a, et a pour différentielle en ce point
D(g o f)(a) = Dg(f(a)) o Dl(a).
Si l est différentiable dans U ( resp., de classe ci dans U) et g différentiable dans
V (resp., de classe ci dans V), l'application composée go l est différentiable dans
son domaine de définition Un l-i(V) (resp., de classe ci dans Un l-i(V)).
Preuve: Traitons d'abord le cas où let g sont différentiables, respectivement en a et en
b = l(a). Pour tous x E U et y E V, posons
A(x) = l(x) - l(a) - Dl(a)(x - a), B(y) = g(y) - g(b) - Dg(b)(y - b).
Nous avons
g(f(x)) - g(f(a)) - Dg(f(a)) o Dl(a)(x - a)= B(f(x)) + Dg(b)(A(x)). (*)
L'application Dg(b) étant linéaire continue,
llDg(b)(A(x)) Il ~ llDg(b)ll llA(x)ll ·
Compte tenu de A(x) = o(Jlx - aJJ), cette inégalité prouve que
Dg(b)(A(x)) = o(JJx - aJJ)