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Chapitre VIII. Calcul des variations
P ocf3 ( w )' est aussi dérivable sur ]a, b[ de dérivé Pocf3 ( w )" = w. Mais w étant supposée continue et bornée par
M sur ]a, b[, l'application Pocf3(w) vérifie les hypothèses de la question 1, donc est élément de&. Dans le cas
où a= /3 = 0, on a l!Pocf3(w)llc1 ~ (b - a)(l + b - a)M/2.
2 b) Soit k > 0 et f une application k-lipschitzienne de E dans E. Pouru E &, f ou est une api;iication
continue sur [a, b] car f et u le sont, donc d'après 2 a, P ocf3 (J ou) est élément de & . Si u et v appartiennent à&,
T(u) - T(v) = Pocf3Cf ou) - Pocf3Cf o v) =Poo(! ou - f o v).
De plus, pour tout t E [a, b], on a Il! o u(t) - f o v(t) Il ~ kllu(t) - v(t)ll ~ kllu - vllc1, ce qui prouve que
fou - f o v est bornée par kllu - vl!c1. On a alors, toujours d'après 2 a,
k
llT(u) -T(v)llci ~ 2(b - a)(l + b - a)llu - vllc1.
Si (b - a) vérifie (k/2)(b - a)(l + b - a) < 1, I'application Test une contraction de&.
2 c) Les extrémales de la fonctionnelle d'extrémités fixées a et f3 sont solutions de l'équation d'Euler. Les
hypothèses de la proposition 3.9 étant satisfaites, ces extrémales sont de classe coci et l'équation d'Euler peut
s'écrire sous la forme 2u"(t) = cosu(t). On applique 2 b avec E = IR, en choisissant pour f l'application
lipschitzienne de rapport 1/2,f(x) = (1/2) cosx.L'équationd'Eulers'écritalorsu" =fou= T(u)",cequi
est équivalent à u = T(u) puisque T(u)(a) = u(a) = a, T( u)(b) = u(b) = /3. L'équation u = T(u) a une
unique solution dès que Test une contraction (théorème du point fixe), c'est-à-dire dès que (b-a) ( 1 +b-a) < 4.
Soit r la racine positive de l'équation du second degré r(l + r) = 4. Si (b - a) < r, il existe une unique
application u de I vers IR, de classe C 00 , vérifiant u( a) = a, u(b) = /3, extrémale de la fonctionnelle .
Chapitre VIII. Calcul des variations
P ocf3 ( w )' est aussi dérivable sur ]a, b[ de dérivé Pocf3 ( w )" = w. Mais w étant supposée continue et bornée par
M sur ]a, b[, l'application Pocf3(w) vérifie les hypothèses de la question 1, donc est élément de&. Dans le cas
où a= /3 = 0, on a l!Pocf3(w)llc1 ~ (b - a)(l + b - a)M/2.
2 b) Soit k > 0 et f une application k-lipschitzienne de E dans E. Pouru E &, f ou est une api;iication
continue sur [a, b] car f et u le sont, donc d'après 2 a, P ocf3 (J ou) est élément de & . Si u et v appartiennent à&,
T(u) - T(v) = Pocf3Cf ou) - Pocf3Cf o v) =Poo(! ou - f o v).
De plus, pour tout t E [a, b], on a Il! o u(t) - f o v(t) Il ~ kllu(t) - v(t)ll ~ kllu - vllc1, ce qui prouve que
fou - f o v est bornée par kllu - vl!c1. On a alors, toujours d'après 2 a,
k
llT(u) -T(v)llci ~ 2(b - a)(l + b - a)llu - vllc1.
Si (b - a) vérifie (k/2)(b - a)(l + b - a) < 1, I'application Test une contraction de&.
2 c) Les extrémales de la fonctionnelle d'extrémités fixées a et f3 sont solutions de l'équation d'Euler. Les
hypothèses de la proposition 3.9 étant satisfaites, ces extrémales sont de classe coci et l'équation d'Euler peut
s'écrire sous la forme 2u"(t) = cosu(t). On applique 2 b avec E = IR, en choisissant pour f l'application
lipschitzienne de rapport 1/2,f(x) = (1/2) cosx.L'équationd'Eulers'écritalorsu" =fou= T(u)",cequi
est équivalent à u = T(u) puisque T(u)(a) = u(a) = a, T( u)(b) = u(b) = /3. L'équation u = T(u) a une
unique solution dès que Test une contraction (théorème du point fixe), c'est-à-dire dès que (b-a) ( 1 +b-a) < 4.
Soit r la racine positive de l'équation du second degré r(l + r) = 4. Si (b - a) < r, il existe une unique
application u de I vers IR, de classe C 00 , vérifiant u( a) = a, u(b) = /3, extrémale de la fonctionnelle .