§ 6. Solutions
211
Puisque pour tout couple {t, v) E [a, b] x IR, nous avons L~v(t, v) > 0, le membre de droite de l'expression
ci-dessus est strictement positif dès que cp # cpo. La fonctionnelle cl> a bien en cpo un minimum absolu sur n0 ,/3.
2) L'équation d'Euler s'écrit dans le cas présent 2 :t ( (t 2 + k 2 )cp 1 (t)) =O.
2 a) Si k # 0, l'équation d'Euler a pour solutions les courbes de la forme cp(t) = A arctan(t/k) + B, où A
et B sont des constantes. Il existe une unique extrémale
a-b
t
a+b
cpo(t) =
( / ) arctan - + - - .
2arctan 1 k
k
2
Puisque L~v(t, v) = 2{t 2 + k 2 ) > 0 on sait, d'après 1, que cette extrémale réalise un minimun absolu de la
fonctionnelle cl> sur n"' ,/3.
2 b) Si k = 0, l'équation d'Euler donne, après une première intégration, t 2 cp' ( t) = c, où c est une constante
réelle. Les seules solutions de cette équation qui soient définies sur l'intervalle [-1, 1] sont obtenues lorsque
c = 0, et ce sont les fonctions constantes. Si a # (3, il n'existe pas d'extrémale élément de na,/3· Pour toute
apppication cp E n<>,/3• on a cl>(cp > 0, puisque cette fonctionnelle s'exprime comme l'intégrale d'une fonction
continue positive non identiquement nulle. Soit E: > 0 et 'Pe !'application, définie sur [-1, 1].
{
a
si -1 < t < -E:,
'Pe(t) =
(a+ b)/2 - (a - b)/2 sin( 7rt/{2ê)) si ltl < E:,
(3
siE::5t:51.
On vérifie que l'application 'Pe ainsi définie est de classe C 1 et a pour extémités a et (3. De plus,
, . , , ( ) 1" 2 (a - b)2 7f2 2 7ft d < 7f2{a - b)2
~ 'Pe =
t
- 2 cos -
t
ê .
4
4ê
2 ê -
24
-1!
On peut donc rendre cl>{ cp) aussi petite que l'on veut en choisissant convenablement la fonction cp.
Solution VIII.3.
1 a) L'application h ayant une dérivée seconde continue et bornée par M sur l'intervalle ]a, b[, sa dérivée h' est
M-lipschitzienne sur ]a, b[ et peut donc se prolonger par continuité aux points a et b (voir exercice 1, Chapitre
5). Ainsi h E &.
Soit t E [a, b]. Appliquons la formule de Taylor à l'ordre 2 à chacun des intervalles [a, t] et [t, b]. On obtient
(a t) 2
llh(a) - h(t) - (a - t)h'{t)ll :5
~
M ;
llh(b) - h(t) - (b - t)h'{t)ll :5 {b ~ t)
2 M.
On a alors
llh{b) - h(a) - (b- a)h'(t) :5 llh{b) - h(t) - (b - t)h'(t)ll + llh{a) - h(t) - (a - t)h'(t)ll
1
)
(b a) 2
:5 2' ( {b - t) 2 + (t - a) 2 M :5 - 2 M,
b- a
1
d'où finalement llh'(t)ll :5 - - M + --llh{b) - h{a)ll·
2
b-a
b-a
1 b) Si h( a) = h(b) = 0 on obtient, en posant I = [a, b], sup Il h' ( t) Il :5 --M. De plus, en appliquant le
tE/
2
théorème des accroissements finis, on obtient, pour t E J,
b - a
(b - a) 2
llh{t)ll = llh{t) - h(a)ll :5 {t- a)- 2 -M :5 2 M.
Ainsi, llhllci :5 {b - a){l + b - a)M/2.
2 a) Par un calcul immédiat, Pa13(w)(a) =a, Pa13(w)(b) = (3.
En remarquant que 1: (t - s)w(s )ds = t 1: w(s)ds - 1: sw(s)ds, on prouve que Pa13(w) est dérivable sur
]a, b[ et a pour dérivée Pa13(w)'(t) = 1t w(s)ds + b ~a ((3 - a - lb (b - s)w(s)ds). L'application
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Puisque pour tout couple {t, v) E [a, b] x IR, nous avons L~v(t, v) > 0, le membre de droite de l'expression
ci-dessus est strictement positif dès que cp # cpo. La fonctionnelle cl> a bien en cpo un minimum absolu sur n0 ,/3.
2) L'équation d'Euler s'écrit dans le cas présent 2 :t ( (t 2 + k 2 )cp 1 (t)) =O.
2 a) Si k # 0, l'équation d'Euler a pour solutions les courbes de la forme cp(t) = A arctan(t/k) + B, où A
et B sont des constantes. Il existe une unique extrémale
a-b
t
a+b
cpo(t) =
( / ) arctan - + - - .
2arctan 1 k
k
2
Puisque L~v(t, v) = 2{t 2 + k 2 ) > 0 on sait, d'après 1, que cette extrémale réalise un minimun absolu de la
fonctionnelle cl> sur n"' ,/3.
2 b) Si k = 0, l'équation d'Euler donne, après une première intégration, t 2 cp' ( t) = c, où c est une constante
réelle. Les seules solutions de cette équation qui soient définies sur l'intervalle [-1, 1] sont obtenues lorsque
c = 0, et ce sont les fonctions constantes. Si a # (3, il n'existe pas d'extrémale élément de na,/3· Pour toute
apppication cp E n<>,/3• on a cl>(cp > 0, puisque cette fonctionnelle s'exprime comme l'intégrale d'une fonction
continue positive non identiquement nulle. Soit E: > 0 et 'Pe !'application, définie sur [-1, 1].
{
a
si -1 < t < -E:,
'Pe(t) =
(a+ b)/2 - (a - b)/2 sin( 7rt/{2ê)) si ltl < E:,
(3
siE::5t:51.
On vérifie que l'application 'Pe ainsi définie est de classe C 1 et a pour extémités a et (3. De plus,
, . , , ( ) 1" 2 (a - b)2 7f2 2 7ft d < 7f2{a - b)2
~ 'Pe =
t
- 2 cos -
t
ê .
4
4ê
2 ê -
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-1!
On peut donc rendre cl>{ cp) aussi petite que l'on veut en choisissant convenablement la fonction cp.
Solution VIII.3.
1 a) L'application h ayant une dérivée seconde continue et bornée par M sur l'intervalle ]a, b[, sa dérivée h' est
M-lipschitzienne sur ]a, b[ et peut donc se prolonger par continuité aux points a et b (voir exercice 1, Chapitre
5). Ainsi h E &.
Soit t E [a, b]. Appliquons la formule de Taylor à l'ordre 2 à chacun des intervalles [a, t] et [t, b]. On obtient
(a t) 2
llh(a) - h(t) - (a - t)h'{t)ll :5
~
M ;
llh(b) - h(t) - (b - t)h'{t)ll :5 {b ~ t)
2 M.
On a alors
llh{b) - h(a) - (b- a)h'(t) :5 llh{b) - h(t) - (b - t)h'(t)ll + llh{a) - h(t) - (a - t)h'(t)ll
1
)
(b a) 2
:5 2' ( {b - t) 2 + (t - a) 2 M :5 - 2 M,
b- a
1
d'où finalement llh'(t)ll :5 - - M + --llh{b) - h{a)ll·
2
b-a
b-a
1 b) Si h( a) = h(b) = 0 on obtient, en posant I = [a, b], sup Il h' ( t) Il :5 --M. De plus, en appliquant le
tE/
2
théorème des accroissements finis, on obtient, pour t E J,
b - a
(b - a) 2
llh{t)ll = llh{t) - h(a)ll :5 {t- a)- 2 -M :5 2 M.
Ainsi, llhllci :5 {b - a){l + b - a)M/2.
2 a) Par un calcul immédiat, Pa13(w)(a) =a, Pa13(w)(b) = (3.
En remarquant que 1: (t - s)w(s )ds = t 1: w(s)ds - 1: sw(s)ds, on prouve que Pa13(w) est dérivable sur
]a, b[ et a pour dérivée Pa13(w)'(t) = 1t w(s)ds + b ~a ((3 - a - lb (b - s)w(s)ds). L'application