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Chapitre VIII. Calcul des variations
1 a) Montrer que h E &. En appliquant la formule de Taylor à l'ordre 2 à chacun des
intervalles [a, t] et [t, b], montrer que, pour tout t E [a, b],
llh'(t)ll :::; b; a M + b ~a llh(b) - h(a)ll ·
1 b) Dans le cas où h(a) = h(b) = 0, donner une majoration de llhllc1 à l'aide de Met
(b - a).
2) Soient a et /3 deux éléments de E. À chaque application w : ]a, b[ - E, continue et
bornée par M, on associe l'application v = Pa13(w) : [a, b] - E définie par
Pa13(w)(t) =a+ 1t (t - s)w(s) ds + ! =: (!3 - a -1b (b - s)w(s) ds).
2 a) Calculer Pa13(w)(a), Pa13(w)(b) et pour tout t E [a, b], (Pa,e(w))" (t), puis montrer
que Pa13(w) est élément de&. Dans le cas où a = /3 = 0, donner une majoration de
llPaf3(w)llc1 à l'aide de Met (b - a).
2 b) Soit k > 0 et f une application k-lipschitzienne de E dans E. On pose, pour tout
élément u de&, T(u) = Pa13(w)(J ou). Montrer que, pour b - a suffisamment petit,
l'application T est une contraction de & .
2 c) Montrer que l'on peut trouver un réel r tel que, si (b - a) < r, il existe une unique
application u de I vers IR, de classe C 00 , vérifiant u( a) = a, u(b) = (3, extrémale de la
fonctionnelle
6. Solutions
Solution VIII.l. La fonctionnelle~ est associée au lagrangien L(t, x, v) = v 2 -(11' 2 /4)x 2 . Les extrémales
de~ d'extrémités a et f3 fixées sont les solutions de l'équation différentielle d'Euler
:tL~(t,f(t),J'(t)) = L~(t,j(t),J'(t)).
Comme L satisfait les hypothèses de la proposition 3.9, on sait que ces extrémales sont de classe 0 00 et que
l'équation d'Euler peut s'écrire f"(t) + (11' 2 /4)f(t) =O. Les solutions de cette équation différentielle sont
les fonctions f de la forme j(t) = Acos(11't/2) + Bsin(11't/2), où A et B sont des constantes. Parmi ces
fonctions, une seule vérifie les conditions f (0) = a, f (l) = /3. Le problème posé a donc une unique solution,
f(t) = Q'.COS(11't/2) + /3sin(11't/2).
Solution VIII.2.
1) L'extrémale cpo est solution de l'équation d'Euler, !L~(t,cp~(t)) =O. Cela prouve l'existence d'une
constante réelle c telle que, pourtout t E [a, b], L~ ( t, cp~ ( t)) = c.
Soit maintenant cp une courbe élément de n<>,/3. Pour t E [a, b] fixé, on applique la formule de Taylor avec reste
intégral, à l'ordre 2, à l'application v--+ L(t, v), entre les points cp'(t) et cp~(t). On obtient
L(t,cp'(t)) -L(t,cp~(t)) = (cp'(t)-cp~(t))L~(t,cp~(t))
+ (cp'(t)-cp~(t)) 2 1
1
L~v(t,(l-s)cp~(t)+scp'(t))ds.
Intégrons sur [a, b]lesdeux membres de cette égalité. Compte tenu de L~ ( t, cp~(t)) = c, de cp(a) = cp0 (a) = a
et de cp(b) = cpo(b) = {3, nous obtenons
~(cp) - ~(cpo) = lb ( cp' (t) - cp~(t))
2
(1\1 -s)L~v (t, (1 -s)cp~(t) +sep' (t)) ds) dt.
Chapitre VIII. Calcul des variations
1 a) Montrer que h E &. En appliquant la formule de Taylor à l'ordre 2 à chacun des
intervalles [a, t] et [t, b], montrer que, pour tout t E [a, b],
llh'(t)ll :::; b; a M + b ~a llh(b) - h(a)ll ·
1 b) Dans le cas où h(a) = h(b) = 0, donner une majoration de llhllc1 à l'aide de Met
(b - a).
2) Soient a et /3 deux éléments de E. À chaque application w : ]a, b[ - E, continue et
bornée par M, on associe l'application v = Pa13(w) : [a, b] - E définie par
Pa13(w)(t) =a+ 1t (t - s)w(s) ds + ! =: (!3 - a -1b (b - s)w(s) ds).
2 a) Calculer Pa13(w)(a), Pa13(w)(b) et pour tout t E [a, b], (Pa,e(w))" (t), puis montrer
que Pa13(w) est élément de&. Dans le cas où a = /3 = 0, donner une majoration de
llPaf3(w)llc1 à l'aide de Met (b - a).
2 b) Soit k > 0 et f une application k-lipschitzienne de E dans E. On pose, pour tout
élément u de&, T(u) = Pa13(w)(J ou). Montrer que, pour b - a suffisamment petit,
l'application T est une contraction de & .
2 c) Montrer que l'on peut trouver un réel r tel que, si (b - a) < r, il existe une unique
application u de I vers IR, de classe C 00 , vérifiant u( a) = a, u(b) = (3, extrémale de la
fonctionnelle
6. Solutions
Solution VIII.l. La fonctionnelle~ est associée au lagrangien L(t, x, v) = v 2 -(11' 2 /4)x 2 . Les extrémales
de~ d'extrémités a et f3 fixées sont les solutions de l'équation différentielle d'Euler
:tL~(t,f(t),J'(t)) = L~(t,j(t),J'(t)).
Comme L satisfait les hypothèses de la proposition 3.9, on sait que ces extrémales sont de classe 0 00 et que
l'équation d'Euler peut s'écrire f"(t) + (11' 2 /4)f(t) =O. Les solutions de cette équation différentielle sont
les fonctions f de la forme j(t) = Acos(11't/2) + Bsin(11't/2), où A et B sont des constantes. Parmi ces
fonctions, une seule vérifie les conditions f (0) = a, f (l) = /3. Le problème posé a donc une unique solution,
f(t) = Q'.COS(11't/2) + /3sin(11't/2).
Solution VIII.2.
1) L'extrémale cpo est solution de l'équation d'Euler, !L~(t,cp~(t)) =O. Cela prouve l'existence d'une
constante réelle c telle que, pourtout t E [a, b], L~ ( t, cp~ ( t)) = c.
Soit maintenant cp une courbe élément de n<>,/3. Pour t E [a, b] fixé, on applique la formule de Taylor avec reste
intégral, à l'ordre 2, à l'application v--+ L(t, v), entre les points cp'(t) et cp~(t). On obtient
L(t,cp'(t)) -L(t,cp~(t)) = (cp'(t)-cp~(t))L~(t,cp~(t))
+ (cp'(t)-cp~(t)) 2 1
1
L~v(t,(l-s)cp~(t)+scp'(t))ds.
Intégrons sur [a, b]lesdeux membres de cette égalité. Compte tenu de L~ ( t, cp~(t)) = c, de cp(a) = cp0 (a) = a
et de cp(b) = cpo(b) = {3, nous obtenons
~(cp) - ~(cpo) = lb ( cp' (t) - cp~(t))
2
(1\1 -s)L~v (t, (1 -s)cp~(t) +sep' (t)) ds) dt.