§ S. Exercices
209
On remarque que p, H ( x, y, p, q) et px+ qy sont des intégrales premières de cette équation
différentielle. Il est facile d'en déduire la nature des courbes t f-t c.p(t) = (x(t),y(t)),
correspondant à une solution de l'équation de Hamilton, dans le demi-plan P. Si l'intégrale
première p a la valeur 0, cette courbe est une demi-droite, d'équation x = c, constante. Si
l'intégrale première p est non nulle, on voit que la normale à la courbe t f-t (x(t), y(t)),
au point courant (x(t), y(t)), rencontre J'axe des abscisses au point d'abscisse x + yq/p;
comme cette expression est une intégrale première, les normales à la courbe considérée
rencontrent toutes l'axe des abscisses au même point. Cette courbe est donc un demi-cercle
centré sur !'axe des abscisses.
On en déduit aisément que pour tout couple de points A et B de P distincts, il existe une
extrémale unique c.p de L admettant ces deux points pour extrémités; si A et B sont situés
sur une même demi-droite de P d'équation x = c constante, c.p([a, bl) est Je segment de
droite d'extrémités A et B; dans le cas contraire, c.p([a, bl) est l'arc de cercle centré sur
l'axe des abscisses, contenu dans P, d'extrémités A et B.
Le demi-plan de Poincaré constitue un modèle de géométrie hyperbolique; son étude a
joué un rôle important pour la compréhension des géométries non euclidiennes.
5. Exercices
Exercice VIII.1.
Déterminer les applications f de classe ci définies sur l'intervalle
[O, 1 ], à valeurs dans ffi., extrémales (au sens 3.10.a) de la fonctionnelle
(f) =li (!'(t)2 - :2 f(t)2) dt
dans l'ensemble Oa,.B des courbes admissibles d'extrémités fixées a et /3 E ffi..
Exercice VIII.2.
Soit [a, b] un intervalle fermé et borné de R Soit L : ffi. 2 -> ffi. une
application de classe C 2 . On définit, sur l'espace ci ([a, b], ffi.) des courbes c.p: [a, b] -> ffi.
de classe ci, la fonctionnelle de Lagrange
(c.p) = 1b L(t, c.p'(t)) dt.
Deux réels a et /3 étant donnés, on note Oa,.B l'ensemble des éléments c.p de ci ([a, b], ffi.)
qui vérifient c.p(a) =a, c.p(b) = /3.
1) On suppose que pour tout ( t, v) E [a, b] x ffi., L~2 ( t, v) > O. Montrer que si c.p0 est
une extrémale de relativement au problème d'extremum pour les courbes d'extrémités
fixées (au sens de 3.10), la fonctionnelle admet en c.p0 un minimum absolu sur Oa,.B·
2) Soit k ER Dans cette question, [a, b] = [-1, 1] et L(t, v)(t 2 + k 2 )v 2 .
2 a) Montrer que, si k -=!= 0, il existe une unique extrémale d'extrémités données a et /3 et
qu'elle réalise un minimum absolu de la fonctionnelle .
2 b) On suppose k = 0 et a-=/= {3, Montrer qu'il n'existe pas d'extrémale de élément de
Oa,.B· Plus précisément, montrer que, pour toute courbe E Oa,.B• ( c.p) > 0, et que pour
tout c > 0, il existe une courbe c.p E Oa,.B vérifiant 0 < (c.p) < €.
Exercice VIII.3.
Soit E un espace de Banach, I = [a, b] un intervalle fermé et borné
de ffi., et E l'espace de Banach des applications de classe ci de I vers E, muni de la norme
llull c1 = su pt El llu( t) Il + suptEI llu' ( t) Il·
1) Soit h : I -> E une application continue admettant sur l'intervalle ]a, b[ une dérivée
seconde continue et bornée par un réel donné M > O.
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On remarque que p, H ( x, y, p, q) et px+ qy sont des intégrales premières de cette équation
différentielle. Il est facile d'en déduire la nature des courbes t f-t c.p(t) = (x(t),y(t)),
correspondant à une solution de l'équation de Hamilton, dans le demi-plan P. Si l'intégrale
première p a la valeur 0, cette courbe est une demi-droite, d'équation x = c, constante. Si
l'intégrale première p est non nulle, on voit que la normale à la courbe t f-t (x(t), y(t)),
au point courant (x(t), y(t)), rencontre J'axe des abscisses au point d'abscisse x + yq/p;
comme cette expression est une intégrale première, les normales à la courbe considérée
rencontrent toutes l'axe des abscisses au même point. Cette courbe est donc un demi-cercle
centré sur !'axe des abscisses.
On en déduit aisément que pour tout couple de points A et B de P distincts, il existe une
extrémale unique c.p de L admettant ces deux points pour extrémités; si A et B sont situés
sur une même demi-droite de P d'équation x = c constante, c.p([a, bl) est Je segment de
droite d'extrémités A et B; dans le cas contraire, c.p([a, bl) est l'arc de cercle centré sur
l'axe des abscisses, contenu dans P, d'extrémités A et B.
Le demi-plan de Poincaré constitue un modèle de géométrie hyperbolique; son étude a
joué un rôle important pour la compréhension des géométries non euclidiennes.
5. Exercices
Exercice VIII.1.
Déterminer les applications f de classe ci définies sur l'intervalle
[O, 1 ], à valeurs dans ffi., extrémales (au sens 3.10.a) de la fonctionnelle
(f) =li (!'(t)2 - :2 f(t)2) dt
dans l'ensemble Oa,.B des courbes admissibles d'extrémités fixées a et /3 E ffi..
Exercice VIII.2.
Soit [a, b] un intervalle fermé et borné de R Soit L : ffi. 2 -> ffi. une
application de classe C 2 . On définit, sur l'espace ci ([a, b], ffi.) des courbes c.p: [a, b] -> ffi.
de classe ci, la fonctionnelle de Lagrange
(c.p) = 1b L(t, c.p'(t)) dt.
Deux réels a et /3 étant donnés, on note Oa,.B l'ensemble des éléments c.p de ci ([a, b], ffi.)
qui vérifient c.p(a) =a, c.p(b) = /3.
1) On suppose que pour tout ( t, v) E [a, b] x ffi., L~2 ( t, v) > O. Montrer que si c.p0 est
une extrémale de relativement au problème d'extremum pour les courbes d'extrémités
fixées (au sens de 3.10), la fonctionnelle admet en c.p0 un minimum absolu sur Oa,.B·
2) Soit k ER Dans cette question, [a, b] = [-1, 1] et L(t, v)(t 2 + k 2 )v 2 .
2 a) Montrer que, si k -=!= 0, il existe une unique extrémale d'extrémités données a et /3 et
qu'elle réalise un minimum absolu de la fonctionnelle .
2 b) On suppose k = 0 et a-=/= {3, Montrer qu'il n'existe pas d'extrémale de élément de
Oa,.B· Plus précisément, montrer que, pour toute courbe E Oa,.B• ( c.p) > 0, et que pour
tout c > 0, il existe une courbe c.p E Oa,.B vérifiant 0 < (c.p) < €.
Exercice VIII.3.
Soit E un espace de Banach, I = [a, b] un intervalle fermé et borné
de ffi., et E l'espace de Banach des applications de classe ci de I vers E, muni de la norme
llull c1 = su pt El llu( t) Il + suptEI llu' ( t) Il·
1) Soit h : I -> E une application continue admettant sur l'intervalle ]a, b[ une dérivée
seconde continue et bornée par un réel donné M > O.