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Chapitre VIII. Calcul des variations
La différentielle partielle H;(t,x,p) est un élément du dual E" de E', c'est-à-dire une
forme linéaire continue sur E'. Nous l'appliquons à un élément 7r de E', et nous notons
ce couplage par dualité (7r,H;(t,x,p)); nous verrons plus loin qu'en fait H;(t,x,p)
s'identifie à un élément de E (rappelons qu'il existe une injection canonique de E dans
E", voir par exemple [T.IX.2.11 ]), et pour rendre la lecture des formules plus aisée, il est
préférable de placer, dans les crochets de dualité, les éléments de E' à gauche et ceux de
E ou de E" à droite. En différentiant par rapport à p l'expression de H, nous obtenons
(7r,H;(t,x,p)) = (7r,h(t,x,p)) + (p,h~(t,x,p)(7r))
- (L~(t,x,h(t,x,p)),h~(t,x,p)(7r)).
Mais
L~(t, x, h(t, x,p)) = p,
(o)
et par suite
(7r,H;(t,x,p)) = (7r,h(t,x,p)),
ce qui prouve que H;(t,x,p) = h(t,x,p), donc que H;(t,x,p) est bien un élément de
E. La première équation ( ***) est bien identique à la première équation ( ** ).
De même, w désignant un élément de E, nous avons
(H~(t, x,p), w) = (p, h~(t, x,p)(w)) - (L~ (t, x, h(t, x,p)), w)
- (L~(t,x,h(t,x,p)),h~(t,x,p)(w)).
En tenant compte, à nouveau, de l'identité (o), nous obtenons
(H~(t,x,p),w) = -(L~(t,x,h(t,x,p)),w),
d'où finalement H~(t, x, p) = -L~ ( t, x, h(t, x, p)). La seconde équation ( ***) est bien
identique à la seconde équation ( * *).
0
. 4.4. Exemple : le demi-plan de Poincaré. -
On considère le demi-plan ouvert
P = { (x, y) E IR 2 ; y > 0 }. On note (x, y, u, v), avec y > 0, les coordonnées
usuelles sur P x IR 2 , et on prend pour lagrangien
1 u 2 + v 2
L(x,y,u,v) = -
2
2
y
La fonctionnelle de Lagrange correspondante est
( ) - 1 lb (x'(t))2 + (y'(t))2
L

2
dt ,
2 a
(y(t))
où on a noté C 1 , à valeurs dans P. On a désigné par x' ( t) et y' ( t) les dérivées, au point t de [a, b], des
composantes x et y de La transformation de Legendre est l'application (t,x,y,u,v) 1---> (t,x,y,p,q), avec
p = uy- 2 et q = vy- 2 • C'est un difféomorphisme. Le hamiltonien H associé au lagrangien
L a pour expression
(
)
1 2 2
2
H x,y,p,q = 2Y (p +q ).
L'équation différentielle de Hamilton s'écrit
{
d:~t) = (y(t))2p(t),
{ d~~t) = 0'
d~~t) = (y(t))2q(t)'
d~~t) = -y(t)( (p(t))2 + (q(t))2).