§ 4. Transformation de Legendre et équation de Hamilton
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Mais
DL~(t, x, v)(O, y, w) = L~v(t, x, v)O + L~v(t, x, v)y + L~v(t, x, v)w.
Par suite, D .C ( t, x, v) est un isomorphisme de lR x E x E sur lR x E x E' si et seulement si
L~v(t, x, v) estunisomorphismedeE sur son dual E'. Dans la proposition 3.9, nous avions
supposé que L~ v ( t0 , x 0 , v0 ) était un isomorphisme de E sur E'. Puisque L~ v est continue
et que l'ensemble des isomorphismes est un ouvert de .C(E, E'), pour (t, x, v) assez voisin
de (t0 , x 0 , v0 ), L~v(t, x, v) est encore un isomorphisme de E sur E'. Nous voyons donc
que l'hypothèse faite dans la proposition 3.9 revient à supposer que le lagrangien L est
régulier au voisinage du point (to, xo, vo).
4.3. Théorème. -
Soit E un espace de Banach, E' son dual, U un ouvert de
lR x E x E et L : U - t lR un lagrangien différentiable de classe CP, avec p ~ 2. On
suppose le lagrangien .C hyperrégulier, et on note .C la transformation de Legendre
qui lui est associée. L'inverse .c- 1 de .C est notée
,e- 1 : (t,x,p) ~ (t,x,v = h(t,x,p)).
Soit H la fonction, défi.nie sur l'ouvert .C(U) de lR x Ex E', et à valeurs réelles,
H(t, x,p) = (p, h(t, x,p)) - Lo .c- 1 (t, x,p).
L'équation différentielle d'Euler (équation différentielle du second ordre, sous forme
non canonique, dans l'espace E), qui s'écrit
!L~(t~cp(t),cp'(t)) -L~(t,cp(t),cp'(t)) = 0,
(*)
est équivalente (au sens précisé ci-dessous) à l'équation différentielle non autonome,
du premier ordre, sous forme canonique, dans l'espace E x E',
{
d:~t) = H~(t,x(t),p(t)),
( **)
dp(t)
/
-;Jt = -Hx(t, x(t),p(t)).
La fonction H est appelée fonction de Hamilton, ou hamiltonien associé au lagrangien
L, et l'équation différentielle ( **) est appelée équation de Hamilton.
Les équations d'Euler ( *) et de Hamilton ( **) sont équivalentes dans le sens
suivant. Pour toute solution t ~ cp(t) de l'équation d'Euler, l'application t ~
( cp(t), L~ (t, cp(t), cp' (t))) est solution de l'équation de Hamilton. Réciproquement,
pour toute solution t ~ (x(t),p(t)) de l'équation de Hamilton, la première
composante t ~ x(t) est solution de l'équation d'Euler.
Preuve : Lors de la démonstration de la proposition 3.9, nous avons prouvé l'équivalence
locale de l'équation différentielle d'Euler et de l'équation différentielle, dans l'espace
EX E',
{
dx(t)
d:t = h(t,x(t),p(t)),
dp(t)
/
-;ft = Lx(t,x(t),h(t,x(t),p(t))).
Dans le cas présent, l'équivalence est globale car par hypothèse la transformation
de Legendre .C est un difféomorphisme. Il reste seulement à prouver que l'équation
différentielle ( ***) ci-dessus est en fait l'équation de Hamilton ( **).
Le hamiltonien H peut s'exprimer sous la forme
H(t,x,p) = (p,h(t,x,p))-L(t,x,h(t,x,p)).