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Chapitre VIII. Calcul des variations
b) Maxima et minima de la fonctionnelle de Lagrange. - Cependant, ces résultats
sont loin de résoudre complètement le problème de la recherche d'un maximum relatif
ou d'un minimum relatif de la fonctionnelle de Lagrange pour les courbes d'extrémités
fixées.
D'une part, les courbes que nous avons appelées extrémales ne réalisent pas nécessairement
un maximum relatif ou un minimum relatif de la fonctionnelle de Lagrange L pour les
courbes d'extrémités fixées. Ces courbes annulent la différentielle de la restriction de L
à OL,0t.,f3• ce qui est une condition nécessaire, mais non suffisante, pour que L ait sur
OL,0t.,f3 un maximum relatif ou un minimum relatif. Pour cette raison, le terme d'extrémale,
pourtant consacré par l'usage, risque d'être trompeur et doit être utilisé prudemment.
On peut, en calculant la différentielle seconde de la fonctionnelle de Lagrange, établir
des conditions suffisantes (analogues à celles données par le théorème III.5.7) pour que
la fonctionnelle de Lagrange ait effectivement en cp un minimum relatif strict ou un
maximum relatif strict. Le lecteur intéressé pourra trouver des développements sur ce
sujet par exemple dans [4] et [5, volume Il].
D'autre part, dans le problème de recherche d'un maximum relatif ou d'un minimum
relatif de L pour les courbes d'extrémités fixées, la courbe cherchée cp n'est pas astreinte
à satisfaire une donnée de Cauchy de la forme cp(t0 ) = x0 , cp'(t0 ) = v0 . Elle doit
satisfaire des conditions qui imposent sa valeur pour deux valeurs distinctes de la variable
indépendante t : cp(a) = o:, cp(b) = (3. La dérivée cp' de cp n'est astreinte à aucune
condition. Le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui permet d'affirmer l'existence de solutions
du problème de Cauchy pour l'équation d'Euler, ne suffit pas pour affirmer l'existence de
solutions cp de cette équation vérifiant cp( a) = o:, cp(b) = (3.
Remarquons enfin qu'une solution cp du problème d'extremum à extrémités fixées peut
être une courbe continue, de classe ci par morceaux, dont la dérivée première présente
des points de discontinuité (en ayant une limite à droite et à gauche en chacun de ces
points); cela suffit pour que la fonctionnelle L ( cp) ait un sens. Une telle solution n'est pas
nécessairement solution de l'équation d'Euler (mais sa restriction à chacun des intervalles
sur lesquels elle est de classe ci doit bien sOr être solution de l'équation d'Euler).
4. Transformation de Legendre et équation de Hamilton
4.1. Définitions. -
Soit E un espace de Banach, E' son dual, U un ouvert de
IR x Ex E et L: U - IR un lagrangien différentiable de classe CP, avec p ~ 2.
1. On appelle transformation de Legendre associée à L l'application .C, définie sur U
et à valeurs dans IR x E x E',
(t, x, v) ~ .C(t, x, v) = (t, x,p = L~(t, x, v)),
où L~ ( t, x, v) désigne la différentielle partielle de L par rapport à sa troisième
variable, au point ( t, x, v) de U.
2. On dit que le lagrangien L est régulier si la transformation de Legendre .C qui
lui est associée est un difféomorphisme local. On dit que L est hyperrégulier si la
transformation de Legendre est un difféomorphisme de l'ouvert U de IR x Ex E
sur un ouvert .C(U) de IR x Ex E'.
4.2. Commentaire. - D'après le théorème d'inversion locale, le lagrangien Lest régulier
si et seulement si la différentielle de la transformation de Legendre, en tout point ( t, x, v)
de U, est un isomorphisme de IR x Ex E sur IR x Ex E'. Compte tenu de l'expression
de .C, sa différentielle au point ( t, x, v) a pour expression
D.C(t, x, v)(O, y, w) = (e, y, DL~(t, x, v)(O, y, w)).
Chapitre VIII. Calcul des variations
b) Maxima et minima de la fonctionnelle de Lagrange. - Cependant, ces résultats
sont loin de résoudre complètement le problème de la recherche d'un maximum relatif
ou d'un minimum relatif de la fonctionnelle de Lagrange pour les courbes d'extrémités
fixées.
D'une part, les courbes que nous avons appelées extrémales ne réalisent pas nécessairement
un maximum relatif ou un minimum relatif de la fonctionnelle de Lagrange L pour les
courbes d'extrémités fixées. Ces courbes annulent la différentielle de la restriction de L
à OL,0t.,f3• ce qui est une condition nécessaire, mais non suffisante, pour que L ait sur
OL,0t.,f3 un maximum relatif ou un minimum relatif. Pour cette raison, le terme d'extrémale,
pourtant consacré par l'usage, risque d'être trompeur et doit être utilisé prudemment.
On peut, en calculant la différentielle seconde de la fonctionnelle de Lagrange, établir
des conditions suffisantes (analogues à celles données par le théorème III.5.7) pour que
la fonctionnelle de Lagrange ait effectivement en cp un minimum relatif strict ou un
maximum relatif strict. Le lecteur intéressé pourra trouver des développements sur ce
sujet par exemple dans [4] et [5, volume Il].
D'autre part, dans le problème de recherche d'un maximum relatif ou d'un minimum
relatif de L pour les courbes d'extrémités fixées, la courbe cherchée cp n'est pas astreinte
à satisfaire une donnée de Cauchy de la forme cp(t0 ) = x0 , cp'(t0 ) = v0 . Elle doit
satisfaire des conditions qui imposent sa valeur pour deux valeurs distinctes de la variable
indépendante t : cp(a) = o:, cp(b) = (3. La dérivée cp' de cp n'est astreinte à aucune
condition. Le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui permet d'affirmer l'existence de solutions
du problème de Cauchy pour l'équation d'Euler, ne suffit pas pour affirmer l'existence de
solutions cp de cette équation vérifiant cp( a) = o:, cp(b) = (3.
Remarquons enfin qu'une solution cp du problème d'extremum à extrémités fixées peut
être une courbe continue, de classe ci par morceaux, dont la dérivée première présente
des points de discontinuité (en ayant une limite à droite et à gauche en chacun de ces
points); cela suffit pour que la fonctionnelle L ( cp) ait un sens. Une telle solution n'est pas
nécessairement solution de l'équation d'Euler (mais sa restriction à chacun des intervalles
sur lesquels elle est de classe ci doit bien sOr être solution de l'équation d'Euler).
4. Transformation de Legendre et équation de Hamilton
4.1. Définitions. -
Soit E un espace de Banach, E' son dual, U un ouvert de
IR x Ex E et L: U - IR un lagrangien différentiable de classe CP, avec p ~ 2.
1. On appelle transformation de Legendre associée à L l'application .C, définie sur U
et à valeurs dans IR x E x E',
(t, x, v) ~ .C(t, x, v) = (t, x,p = L~(t, x, v)),
où L~ ( t, x, v) désigne la différentielle partielle de L par rapport à sa troisième
variable, au point ( t, x, v) de U.
2. On dit que le lagrangien L est régulier si la transformation de Legendre .C qui
lui est associée est un difféomorphisme local. On dit que L est hyperrégulier si la
transformation de Legendre est un difféomorphisme de l'ouvert U de IR x Ex E
sur un ouvert .C(U) de IR x Ex E'.
4.2. Commentaire. - D'après le théorème d'inversion locale, le lagrangien Lest régulier
si et seulement si la différentielle de la transformation de Legendre, en tout point ( t, x, v)
de U, est un isomorphisme de IR x Ex E sur IR x Ex E'. Compte tenu de l'expression
de .C, sa différentielle au point ( t, x, v) a pour expression
D.C(t, x, v)(O, y, w) = (e, y, DL~(t, x, v)(O, y, w)).