§ 3. L'équation d'Euler
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Considérons l'équation différentielle non autonome, dans J'espace Ex E',
{
d~~t) = h(t, x(t),p(t)),
( ***)
dp(t)
'(
)
--;ft =Lx t,x(t),h(t,x(t),p(t)) .
Nous avons noté t f-t (x(t),p(t)) une application (inconnue) d'un intervalle ouvert de lR
dans E x E', solution de cette équation.
L'équation différentielle ( ***) est sous forme canonique.L'application (définie sur l'ouvert
W de lR x Ex E', à valeurs dans Ex E') qu'elle fait intervenir,
(t, x,p) f-t ( h(t, x,p), L~ (t, x, h(t, x,p)))
est différentiable de classe cp-l. Le point ( t0 , x 0 , p0 ) est une donnée de Cauchy acceptable
pour cette équation, puisque c'est un élément de W. Il existe donc une solution maximale
unique de cette équation, notée t f-t (x(t),p(t)), qui vérifie x(t0 ) = x0 etp(t0 ) = p0 .
Soit J l'intervalle ouveit contenant t 0 sur lequel elle est définie. La proposition Vl.4.1
nous permet d'affirmer que cette solution est différentiable de classe CP sur J. Posons
<.p(t) = x(t). Nous vérifions aisément que <.p, ainsi définie, est solution de l'équation
d'Euler(*) et qu'elle vérifie <.p(t0 ) = x0 , <.p'(t0 ) = v0 . De plus, elle est différentiable de
classe CP, puisque c'est la première composante de l'application t f-t (x(t), p(t)), qui est
de classe CP.
Soit maintenant 'ljJ : J' ---+ E une solution de l'équation d'Euler (*), définie sur un
intervalle ouvert J' contenant t0 et vérifiant 'l/;(to) = x 0 , 'l/J'(t0 ) = vo. Pour tassez voisin
de t0 , (t,'l/;(t),'l/;'(t)) est élément de V. Nous pouvons alors prendre son image par le
difféomorphisme de V sur W, (t,x,v) f-t (t,x,p = L~(t,x,v)). Nous voyons alors
que l'application t f-t ( 'I/;( t), L~ ( t, 'I/;( t), ' l/J' ( t))) est solution de l'équation différentielle
(***),et satisfait la donnée de Cauchy (t0 ,x0 ,v0 ). En raison de l'unicité, nous avons
donc, pour tout t E J' n J assez voisin de t0 , 'l/;(t) = <.p(t).
D
3.10. Remarques. - Nous supposons toujours le lagrangien L différentiable de classe
CP, avec p ~ 2.
a) La notion d'extrémale. - Afin de faciliter le langage, on appelle souvent extrémale de
la fonctionnelle de Lagrange L· relativement au problème d'extremum pour les courbes
<.p à extrémités fixées <.p(a) = a, <.p(b) = /3, toute courbe paramétrée <.p E nL,o,f3 qui
vérifie, pour toute courbe L-admissible u E C 1 (E, I, 0, 0) d'extrémités nulles,
( D L( <.p), u) = O .
La proposition 3.2 montre que si la restriction de la fonctionnelle L à l'ensemble nL,a,f3
des courbes L-admissibles d'extrémités <.p(a) = a et <.p(b) = /3 admet, en un élément <.p
de cet ensemble, un maximum relatif ou un minimum relatif, alors <.p est une extrémale de
L relativement au problème d'extremum pour les courbes d'extrémités fixées. De plus,
cette proposition donne une première expression de D L( <.p).
Le théorème 3.7 affirme qu'une extrémale est solution del 'équation d'Euler, cette équation
étant mise sous la forme indiquée dans l'énoncé de ce théorème (notée (*)paragraphe 3.8).
Réciproquement, la proposition 3.2 montre qu'une courbe élément de nL,a,f3 et solution
de l'équation d'Euler est une extrémale. Lorsque de plus, en tout point (t, x, v) de l'ouvert
U de lR x E x E sur lequel le lagrangien L est défini la différentielle partielle L~ v ( t, x, v)
est un isomorphisme, la proposition 3.9 montre que les deux formes de l'équation d'Euler,
notées ( *) et ( **) dans le paragraphe 3.8, sont équivalentes. Elle montre aussi que pour
toute donnée de Cauchy (t0 , x0 , v0 ) E U, il existe une solution maximale unique <.p de
l'équation d'Euler vérifiant <.p(t0 ) = x0 et <.p'(t0 ) = v0 , et que cette solution est de classe
CP.