classe C 2 . Nous avons alors, par application des règles de différentiation d'une application
composée,
~ L~(t, + L~v(t, où nous avons noté

s'écrit donc
L~ V ( t, +L~'v(t, C'est une équation différentielle du second ordre dont l'inconnue est l'application Elle n'est pas sous forme canonique, puisqu'elle n'est pas résolue par rapport à la
dérivée de L~ v ( t, comme une application linéaire de E dans C(E, IR.), c'est-à-dire de E dans son dual
E'. Nous verrons plus loin comment, moyennant certaines hypothèses supplémentaires,
l'équation d'Euler sous sa forme explicite ( **) peut être mise sons forme canonique (et,
simultanément, ramenée au premier ordre).
Il y a cependant une difficulté : l'application

applications de classe ci de I dans E, et étant l'inconnue, nous ne sommes pas assurés a
priori qu'elle est de classe C 2 • Par conséquent, nous ne pouvons pas affirmer a priori que
l'équation d'Euler ( *) puisse être explicitée sous la forme ( ** ). La proposition suivante
résoud en partie cette difficulté.
3.9. Proposition. -
Les hypothèses et notations étant celles du paragraphe
précédent, soit (to, xo, vo) un élément de l'ouvert U de IR. x E x E sur lequel
est défi.ni le lagrangien L, avec to E ]a, b[. On suppose que L~ v(t0 , x0 , v0 ) est un
isomorphisme de E sur son dual E'. Sous ces hypothèses,
(i) il existe une solution

J contenant t0 , vérifiant (ii) toute autre solution ' ljJ de l'équation d'Euler(*), définie sur un intervalle J'
contenant to et vérifiant 'ljJ(to) = xo et 'ljJ'(to) = vo, coïncide avec

ouvert contenant t0 ; en particulier, elle est de classe CP sur cet intervalle.
Preuve : Considérons l'application, définie sur l'ouvert U de IR. x E x E, et à valeurs
dans IR. x E x E', (t, x, v) 1-t ( t, x, L~ (t, x, v)). Puisque, par hypothèse, L~ v(to, x0 , vo)
est un isomorphisme de E sur E', nous pouvons appliquer à L~ le théorème des
fonctions inverses. Posons p0 = L~(t0 , x0 , v0 ). Nous pouvons affirmer qu'il existe un
voisinage V de (t0 , x 0 , v0 ) dans IR. x Ex E, V c U, et un voisinage W de (t0 , x0 ,p0 )
dans IR. x Ex E', tels que l'application (t,x,v) 1-t (t,x,p = L~(t,x,v)) soit un
difféomorphisme de classe cp-i de V sur W. Le difféomorphisme inverse est de la
forme (t,x,p) 1-t (t,x,v = h(t,x,p)).