§ 3. L'équation d'Euler
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puisque u(a) = u(b) =O. Nous pouvons donc écrire
lb ( (A(t) u(t)) + (B(t), u'(t))) dt= lb (B(t) - C(t), u'(t)) dt.
D'après le lemme de Du Bois-Reymond, cette expression est nulle pour toute application
u : I --+ E de classe ci sur I vérifiant u( a) = u( b) = 0 si et seulement si B - C est
constant sur I, c'est-à-dire si et seulement si Best, comme C, une primitive de A.
0
3.6. Remarque. - Lorsque lapplication B est supposée différentiable de classe ci, la
démonstration du lemme fondamental du calcul des variations peut être simplifiée. Nous
pouvons en effet dans ce cas faire une intégration par parties, c'est-à-dire écrire
(B(t),u'(t)) = :t (B(t),u(t))- (B'(t),u(t)),
puis
lb (\A(t),u(t)) + (B(t),u'(t))) dt= lb(A(t)-B'(t),u(t))dt
+ (B(b),u(b))- (B(a),u(a))
= lb(A(t)-B'(t),u(t))dt,
puisque u(b) = u(a) =O. Il ne reste plus alors qu'à utiliser le lemme 3.3 pour tenniner
la démonstration. Mais la démonstration donnée précédemment est préférable car elle ne
nécessite pas d'hypothèse sur la différentiabilité de B.
3.7. Théorème. -
Soient I = [a, b] un intervalle fermé et borné de IR, E un espace
de Banach, U un ouvert de lR x E x E et L : U --+ lR un lagrangien différentiable
de classe CP, avec p 2: 1, o: et /3 deux éléments de E. Les notations étant celles
du théorème 2.3 et de 3.1, on suppose que la restriction de la fonctionnelle de
Lagrange
L(

à l'ensemble (supposé non vide) O.L,a,/3 des courbes L-admissibles d'extrémités o:
et /3 admet, en un point

relatif. Alors l'application de I dans le dual E' de E,
t 1-+ DaL(t, est de classe ci sur I et sa dérivée, en chaque point t E J, est D2 L(t, On peut exprimer ce résultat par la relation, appelée équation d'Euler,
:t DaL(t, Preuve : Il suffit d'appliquer la proposition 3.2 et le lemme fondamental du calcul des
variations 3.5.
D
3.8. Étude de l'équation d'Euler. - Les hypothèses et notations étant celles du théorème
précédent, nous supposons de plus le lagrangien L différentiable de classe CP, avec p 2: 2.
Nous allons mettre l'équation d'Euler sous une fonne plus explicite. Afin d'alléger les
notations, nous écrirons le lagrangien L comme une fonction de trois variables,
(t,x,v) 1-+ L(t,x,v).