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Chapitre VIII. Calcul des variations
Soit alors x : IR ---? IR une fonction continue, à valeurs 2:: 0, nulle en dehors de l'intervalle
] - rJ, ry[ et strictement positive à l'origine. Nous pouvons prendre par exemple
{
rJ - ltl
x(t) =
-rJ- pour ltl ::; 'f/,
0
pour ltl > rJ.
Posons alors, pour tout t E J,
((t) = lt (x(O - ci) - x(O - c2)) dO,
et
u(t) = ((t) z.
L'application u vérifie u(a) = u(b) = 0, elle est de classe ci sur I et a pour dérivée
u'(t) = (x(t - ci) - x(t - c2))z.
Nous avons donc
lb (B(t), u'(t)) dt= lb (B(t), z) (x(t - ci) - x(t - c2)) dt
= 1: (B(ci + s) - B(c2 + s), z)x(s) ds.
Cette dernière expression est visiblement strictement positive, puisque la fonction intégrée
sur [-ry, ry] est continue, partout positive ou nulle et non nulle à l'origine.
D
3.5. Lemme fondamental du calcul des variations. -
Soit I = [a, b] un intervalle
fermé et borné de IR, E un espace de Banach réel, E' = .C(E, IR) son dual, A et B
deux applications continues de I dans E'. On a
lb ((A(t),u(t)) + (B(t),u'(t))) dt= 0
pour toute application u de I dans Ede classe ci sur I vérifiant u(a) = u(b) = 0,
si et seulement si B est une primitive de A, c'est-à-dire est différentiable sur ]a, b[
et a pour dérivée, en tout point t de cet intervalle,
B'(t) = A(t).
Preuve : Posons, pour tout t E I,
C(t) = lt A(O) dO.
L'application C est une primitive de A; elle est de classe ci sur I et a pour dérivée A.
Soit u une application de I dans E, de classe ci sur I, vérifiant u(a) = u(b) = O. Nous
avons, pour tout t E J,
donc
d
(A(t),u(t)) =dt (C(t),u(t))- (C(t),u'(t)),
lb(A(t),u(t))dt = (C(b),u(b))-(C(a),u(a))- lb(C(t),u'(t))dt
= - lb ( C ( t), u' ( t)) dt ,