§ 3. Uéquation d'Euler
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3.3. Lemme. -
Soit I = [a, b] un intervalle fermé et borné de IR, E un espace de
Banach réel, E' = C(E, JR) son dual. Une application continue A de I dans E' est
identiquement nulle si et seulement si, pour pour toute application u de I dans E,
de classe ci sur I, vérifi.ant u(a) = 0 et u(b) = 0, on a
1b(A(t),u(t))dt=O.
(*)
Preuve: Si A est identiquement nulle sur [a, b], l'égalité (*)est évidemment vérifiée pour
toute application u E ci (I, E, 0, 0). Réciproquement, supposons A non identiquement
nulle, et prouvons qu'il existe une application u E ci(J, E, 0, 0) telle que le membre de
gauche de ( *) soit strictement positif. Puisque A est continue et non identiquement nulle,
il existe un point c intérieur à l'intervalle I tel que A(c) # O. Il existe un élément z de
Etel que (A(c), z) # O; en remplaçant éventuellement z par son opposé, nous pouvons
supposer (A(c), z) >O. Par continuité de l'application t ~ (A(t), z), il existe ry > 0 tel
que a< c-ry < c+ry < betquepourtoutt E [c-ry,c+ry],nousayons(A(t),z) >O. Soit
x : [a, b] --t lR une fonction de classe ci, à valeurs 2' . 0, nulle en dehors de [c - ry, c + ry],
et strictement positive au point c. Une telle fonction existe, par exemple
x(t) ~ { ~xp ( - ~2 _ (~ _ c)')
pour a ::; t ::; c - ry,
pour c - ry ::; t ::; c + ry,
pour c + rJ ::; t ::; b.
Posons, pour tout t E [a,b], u(t) = x(t)z. L'application t ~ (A(t),u(t)) est alors
continue, partout positive ou nulle sur [a, b] et strictement positive au point c. Son intégrale
sur [a, b] est donc strictement positive.
0
3.4. Lemme de Du Bois-Reymond. - Soit I = [a, b] un intervalle fermé et borné de
IR, E un espace de Banach réel, E' = C(E, IR) son dual. Une application continue
B de I dans E' est constante si et seulement si, pour toute application u de I dans
E, de classe ci sur I, vérifi.ant u(b) = u(a) = 0, on a
1b ( B ( t) , u' ( t)) dt = 0 .
Preuve : Si B est constante nous avons, d'après la propriété V.2.4.f de l'intégrale, pour
toute application u : I --t E de classe ci prenant la même valeur aux extrémités a et b de
l'intervalle I,
1b(B,u'(t))dt= (B,1b u'(t)dt) = (B,u(b)-u(a)) =0.
Réciproquement, supposons B non constante sur I. Comme cette application est continue,
il existe deux points ci et c2 de I, vérifiant a < ci < c2 < b, tels que B (ci) # B ( c2). Il
existe un élément z de E tel que ( B (ci), z) # ( B ( c2), z) ; en remplaçant éventuellement
z par son opposé, nous pouvons supposer (B(ci), z) > (B(c2), z). Par continuité de
l'application t ~ (B(t), z), il existe rJ > 0 tel que a < ci - ' TJ < ci + ' TJ < c2 - ' TJ <
c2 + rJ < b, et que
inf { (B(t), z) ; t E [ci - r1, ci+ 77]} > sup{ (B(t), z) ; t E [c2 - ry, c2 + ry]}.
Cela implique, a fortiori, que pour touts E [-ry, ry],
( B (Ci + s) - B ( C2 + s)' z) > 0 .
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3.3. Lemme. -
Soit I = [a, b] un intervalle fermé et borné de IR, E un espace de
Banach réel, E' = C(E, JR) son dual. Une application continue A de I dans E' est
identiquement nulle si et seulement si, pour pour toute application u de I dans E,
de classe ci sur I, vérifi.ant u(a) = 0 et u(b) = 0, on a
1b(A(t),u(t))dt=O.
(*)
Preuve: Si A est identiquement nulle sur [a, b], l'égalité (*)est évidemment vérifiée pour
toute application u E ci (I, E, 0, 0). Réciproquement, supposons A non identiquement
nulle, et prouvons qu'il existe une application u E ci(J, E, 0, 0) telle que le membre de
gauche de ( *) soit strictement positif. Puisque A est continue et non identiquement nulle,
il existe un point c intérieur à l'intervalle I tel que A(c) # O. Il existe un élément z de
Etel que (A(c), z) # O; en remplaçant éventuellement z par son opposé, nous pouvons
supposer (A(c), z) >O. Par continuité de l'application t ~ (A(t), z), il existe ry > 0 tel
que a< c-ry < c+ry < betquepourtoutt E [c-ry,c+ry],nousayons(A(t),z) >O. Soit
x : [a, b] --t lR une fonction de classe ci, à valeurs 2' . 0, nulle en dehors de [c - ry, c + ry],
et strictement positive au point c. Une telle fonction existe, par exemple
x(t) ~ { ~xp ( - ~2 _ (~ _ c)')
pour a ::; t ::; c - ry,
pour c - ry ::; t ::; c + ry,
pour c + rJ ::; t ::; b.
Posons, pour tout t E [a,b], u(t) = x(t)z. L'application t ~ (A(t),u(t)) est alors
continue, partout positive ou nulle sur [a, b] et strictement positive au point c. Son intégrale
sur [a, b] est donc strictement positive.
0
3.4. Lemme de Du Bois-Reymond. - Soit I = [a, b] un intervalle fermé et borné de
IR, E un espace de Banach réel, E' = C(E, IR) son dual. Une application continue
B de I dans E' est constante si et seulement si, pour toute application u de I dans
E, de classe ci sur I, vérifi.ant u(b) = u(a) = 0, on a
1b ( B ( t) , u' ( t)) dt = 0 .
Preuve : Si B est constante nous avons, d'après la propriété V.2.4.f de l'intégrale, pour
toute application u : I --t E de classe ci prenant la même valeur aux extrémités a et b de
l'intervalle I,
1b(B,u'(t))dt= (B,1b u'(t)dt) = (B,u(b)-u(a)) =0.
Réciproquement, supposons B non constante sur I. Comme cette application est continue,
il existe deux points ci et c2 de I, vérifiant a < ci < c2 < b, tels que B (ci) # B ( c2). Il
existe un élément z de E tel que ( B (ci), z) # ( B ( c2), z) ; en remplaçant éventuellement
z par son opposé, nous pouvons supposer (B(ci), z) > (B(c2), z). Par continuité de
l'application t ~ (B(t), z), il existe rJ > 0 tel que a < ci - ' TJ < ci + ' TJ < c2 - ' TJ <
c2 + rJ < b, et que
inf { (B(t), z) ; t E [ci - r1, ci+ 77]} > sup{ (B(t), z) ; t E [c2 - ry, c2 + ry]}.
Cela implique, a fortiori, que pour touts E [-ry, ry],
( B (Ci + s) - B ( C2 + s)' z) > 0 .