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Chapitre VIII. Calcul des variations
3. L'équation d'Euler
3.1. Problème d'extremum pour les courbes d'extrémités fixées. - Dans tout ce
paragraphe, les hypothèses et notations sont celles du théorème 2.3. Pour tous a et
(3 E E, nous notons C 1 (I, E, a, (3) l'ensemble des courbes paramétrées c.p E C 1 (I, E)
qui vérifient c.p(a) = a, c.p(b) = (3. C'est visiblement un sous-espace affine de l'espace
vectoriel C 1 (I, E) qui se déduit, par translation, du sous-espace vectoriel C 1 (I, E, 0, 0) de
C 1 (I, E). Puisque l'application de C 1 (I, E) dans Ex E, cp 1--t ( cp(a), cp(b)) est continue,
C 1 (I, E, 0, 0) est un sous-espace vectoriel fermé de C 1 (I, E), donc un espace de Banach.
De même, pour tous a et (3 E E, C 1 ( I, E, a, (3) est un sous-espace affine fermé, donc
complet, de C 1 (I, E). Posons
fh,a,/3 = fh n C 1 (I, E, a, (3).
Puisque fh est un ouvert de C 1 (I, E) (lemme 1.5), nL,a,/3 est un ouvert de l'espace affine
C 1 (!, E, a, (3). En particulier, OL,o,o est un ouvert de l'espace de Banach C 1 (!, E, 0, 0).
Nous dirons que nL,a,/3 est l'ensemble des courbes L-admissibles d'extrémités a et (3, et
que nL,o,o est l'ensemble des courbes L-admissibles d'extrémités nulles.
Les éléments a et (3 de E étant supposés fixés et tels que nL,a,/3 soit non vide, nous
étudions le problème suivant: trouver une courbe paramétrée c.p, élément de nL,a,/3• telle
que la fonctionnelle de Lagrange ou un minimum relatif. La proposition suivante indique une condition nécessaire que doit
satisfaire cp.
3.2. Proposition. - Soient I = [a, b] un intervalle fermé et borné de~. E un espace
de Banach, U un ouvert de ~ x E x E et L : U --t ~ un lagrangien différentiable
de classe CP, avec p 2: 1, a et (3 deux éléments de E. Les notations étant celles
du théorème 2.3 et de 3.1, on suppose que la restriction de la fonctionnelle de
Lagrange
L(cp) = 1b L(t,cp(t),cp'(t)) dt,

à l'ensemble (supposé non vide) nL,a,/3 des courbes L-admissibles d'extrémités a
et (3 admet, en un point c.p de cet ensemble, un minimum relatif ou un maximum
relatif. Alors, pour toute courbe L-admissible d'extrémités nulles u E C 1 (I, E, 0, 0),
on a
(D L( cp ), u) = 1b(D2L( t, cp(t), cp' (t)), u(t)) dt+ 1b(D3L(t, cp(t), cp' (t)), u' (t)) dt
=0.
Preuve: Nous avons vu (3.1) que C 1 (I,E,a,(3) est un sous-espace affine fermé de
l'espace de Banach C 1 (I, E), qui se déduit par translation du sous-espace vectoriel fermé
C 1 (I, E, 0, 0). Nous avons vu également que OL,a,/3 est un ouvert de C 1 (I, E, a, (3), que
nous supposons non vide. La fonctionnelle L étant de classe CP sur nL. sa restriction à
n L,a,{3 est aussi de classe CP.
Supposons que la restriction de la fonctionnelle de Lagrange Là nL,a,/3 ait un minimum
relatif ou un maximum relatif en un point c.p de nL,a,/3· D'après le théorème III.5.3, la
différentielle, au point L à n L,a,/3 est nulle. Mais cette différentielle
n'est autre que la restriction de D L( C 1 (I, E). Le résultat annoncé en découle.
D
Afin de mettre la condition suffisante obtenue dans la proposition 3.2 sous une forme plus
commode, nous aurons besoin des trois lemmes suivants.