§ 2. La différentielle de la fonctionnelle de Lagrange
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2.3. Théorème. - Soient I = [a, b] un intervalle fermé et borné de IR, E un espace
de Banach, U un ouvert de lR x E x E et L : U -----> lR un lagrangien différentiable
de classe CP, avec p ;::: 1. La fonctionnelle de Lagrange
cp ~ L(cp) = 1b L(t, cp(t), cp'(t)) dt
est différentiable de classe CP sur l'ensemble fh des courbes L-admissibles (1.4).
Sa différentielle première, en un point cp de nL, a pour expression
(D L( cp ), u) = 1b (D2L(t, cp(t), cp' (t)), u(t)) dt+ 1b (D3L( t, cp(t), cp' (t)), u' (t)) dt,
où D2 L(t, x, v) et D3L(t, x, v) désignent les différentielles partielles de L par
rapport à sa seconde et à sa troisième variable, respectivement, au point ( t, x, v)
de U, et où u est un élément de ci (J, E). Nous avons noté ci-dessus ( 77, x) ~ (77, x)
le couplage d'un élément 77 du dual E' de E avec un élément x de E.
Preuve: D'après le lemme 1.5, Lest une application définie sur l'ouvert OL de l'espace
de Banach ci(/, E). Soit h: l x OL -----> lR l'application
h(t,cp) = L(t,cp(t),cp'(t)).
Elle est composée de l'application de I X nL dans I X E X E, (t, cp) ~ ( t, cp(t), cp' (t)),
qui est continue puisque ses trois composantes le sont, et del' application de l'ouvert U de
lR x Ex E dans IR, (t, x, y)~ L(t, x, y), qui est continue par hypothèse. L'application
h est donc continue.
D'autre part, l'application (t, cp) ~ (t, cp(t), cp'(t)) a des différentielles partielles de tous
les ordres par rapport à sa seconde variable cp, et ces différentielles partielles sont continues
sur I x OL. En effet, pour t E lR fixé, chacune des trois composantes de cette application
a des différentielles partielles de tous les ordres par rapport à cp : la première composante,
étant constante, a des différentielles partielles de tous ordres nulles; la seconde et la
troisième composantes sont les applications cp ~ cp(t) et continues; leurs différentielles partielles premières par rapport à la variable cp sont donc
les applications linéaires de ci ( I, E) dans E : u ~ u( t) et u ~ u' ( t ), repectivement, qui
dépendent continûment de (t, cp) (en fait, elles ne dépendent que de t, non de cp); quant à
leurs différentielles partielles d'ordre ;::: 2 par rapport à la variable cp, elles sont nulles.
L'application L étant, par hypothèse, de classe CP, avec p ;::: 1, l'application composée
h a des différentielles partielles par rapport à sa seconde variable jusqu'à l'ordre p, et
ces différentielles partielles sont continues. On obtient en particulier l'expression de
la différentielle partielle première par application de la règle de différentiation d'une
application composée:
D2 h(t, cp)(u) = (D2 L(t, cp(t), cp'(t)), u(t)) + (D3L(t, cp(t), cp'(t)), u'(t)).
En appliquant le lemme 2.2, nous voyons que la fonctionnelle de Lagrange L est de classe
CP sur OL, et que sa différentielle première, en un élément cp de fh, a pour expression
(DL(cp), u) = 1b (D2 L(t, cp(t), cp'(t)), u(t)) dt+ 1b (D3L(t, cp(t), cp'(t)), u'(t)) dt,
où u désigne un élément de ci(/, E).
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2.3. Théorème. - Soient I = [a, b] un intervalle fermé et borné de IR, E un espace
de Banach, U un ouvert de lR x E x E et L : U -----> lR un lagrangien différentiable
de classe CP, avec p ;::: 1. La fonctionnelle de Lagrange
cp ~ L(cp) = 1b L(t, cp(t), cp'(t)) dt
est différentiable de classe CP sur l'ensemble fh des courbes L-admissibles (1.4).
Sa différentielle première, en un point cp de nL, a pour expression
(D L( cp ), u) = 1b (D2L(t, cp(t), cp' (t)), u(t)) dt+ 1b (D3L( t, cp(t), cp' (t)), u' (t)) dt,
où D2 L(t, x, v) et D3L(t, x, v) désignent les différentielles partielles de L par
rapport à sa seconde et à sa troisième variable, respectivement, au point ( t, x, v)
de U, et où u est un élément de ci (J, E). Nous avons noté ci-dessus ( 77, x) ~ (77, x)
le couplage d'un élément 77 du dual E' de E avec un élément x de E.
Preuve: D'après le lemme 1.5, Lest une application définie sur l'ouvert OL de l'espace
de Banach ci(/, E). Soit h: l x OL -----> lR l'application
h(t,cp) = L(t,cp(t),cp'(t)).
Elle est composée de l'application de I X nL dans I X E X E, (t, cp) ~ ( t, cp(t), cp' (t)),
qui est continue puisque ses trois composantes le sont, et del' application de l'ouvert U de
lR x Ex E dans IR, (t, x, y)~ L(t, x, y), qui est continue par hypothèse. L'application
h est donc continue.
D'autre part, l'application (t, cp) ~ (t, cp(t), cp'(t)) a des différentielles partielles de tous
les ordres par rapport à sa seconde variable cp, et ces différentielles partielles sont continues
sur I x OL. En effet, pour t E lR fixé, chacune des trois composantes de cette application
a des différentielles partielles de tous les ordres par rapport à cp : la première composante,
étant constante, a des différentielles partielles de tous ordres nulles; la seconde et la
troisième composantes sont les applications cp ~ cp(t) et continues; leurs différentielles partielles premières par rapport à la variable cp sont donc
les applications linéaires de ci ( I, E) dans E : u ~ u( t) et u ~ u' ( t ), repectivement, qui
dépendent continûment de (t, cp) (en fait, elles ne dépendent que de t, non de cp); quant à
leurs différentielles partielles d'ordre ;::: 2 par rapport à la variable cp, elles sont nulles.
L'application L étant, par hypothèse, de classe CP, avec p ;::: 1, l'application composée
h a des différentielles partielles par rapport à sa seconde variable jusqu'à l'ordre p, et
ces différentielles partielles sont continues. On obtient en particulier l'expression de
la différentielle partielle première par application de la règle de différentiation d'une
application composée:
D2 h(t, cp)(u) = (D2 L(t, cp(t), cp'(t)), u(t)) + (D3L(t, cp(t), cp'(t)), u'(t)).
En appliquant le lemme 2.2, nous voyons que la fonctionnelle de Lagrange L est de classe
CP sur OL, et que sa différentielle première, en un élément cp de fh, a pour expression
(DL(cp), u) = 1b (D2 L(t, cp(t), cp'(t)), u(t)) dt+ 1b (D3L(t, cp(t), cp'(t)), u'(t)) dt,
où u désigne un élément de ci(/, E).
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