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Chapitre VIII. Calcul des variations
Nous en déduisons
117/J(x) -7/J(xo)ll = 1b (h(t,x) - h(t,xo)) dt ~ 1bllh(t,x) - h(t,xo)ll dt
é
~ b-a (b-a)=é,
ce qui prouve que 7/ J est continue au point x 0 .
2. Traitons d'abord le cas p = 1. Pour tout x E V, posons
x(x)= 1bDxh(t,x)dt.
D'après le résultat ci-dessus (appliqué à Dxh), x est une application continue de V dans
.C(E, F). Soit x0 E V. Il existe p > 0 tel que tout élément x de E vérifiant llx - xoll ~ p
soit élément de V. Pour un tel élément x, le segment de droite [x0 , x] est contenu dans V,
et (théorème des accroissements finis),
llh(t,x)-h(t,xo)-Dxh(t,xo)(x-xo)ll ~ sup llDxh(t,z)-Dxh(t,xo)ll llx-xoll ·
zE[xo,x]
Mais le lemme 2.1, appliqué à D x h, montre que pour tout é > 0, il existe rJ > 0 tel que,
si z E V vérifie llz - xoll ~ TJ, nous ayons
é
sup llDxh(t, z) - Dxh(t, xo)ll ~ -b - ·
tE[a,b]
- a
Nous pouvons imposer à rJ de vérifier rJ < p. Pour x E V vérifiant llx - xoll < rJ nous
avons alors, pour tout z E [xo, x], llz - xo Il < rJ donc, pour tout t E [a, b],
é
llh(t,x) - h(t,xo) - Dxh(t,xo)(x - xo)ll ~ b- a llx - xoll ·
Nous en déduisons
117/J(x)- 7/J(xo) - x(xo)(x - xo)ll
= 1b (h(t, x) - h(t, xo) - Dxh(t, xo)(x - xo)) dt
~ 1bllh(t,x) -h(t,xo)-Dxh(t,xo)(x - xo)ll dt
é
~ -b - llx - xoll(b- a)= éllx - xoll ·
-a
Ce résultat prouve que 7/ J est différentiable au point x0 et que sa différentielle en ce point
est x(x0 ) Comme nous avons prouvé la continuité de x, l'application 7/ J est de classe C 1 .
Traitons maintenant le cas où p > 1. Soit j un entier vérifiant 1 ~ j < p, et supposons
qu'on ait déjà prouvé que pour tout entier k vérifiant 1 ~ k ~ j, D(k)'lj; existe et soit
continue sur V, et que sa valeur en un point x de V soit donnée par la formule ( *). En
remplaçant h par D~) h et 7/ J par D(Jl7j;, et en procédant exactement comme ci-dessus, on
montre alors que DU) 7/ J est différentiable sur V et que sa différentielle D (DU) 7/J) ( x) en
un point x de V est donnée par la formule
D(D
donc que D(J+l)'lj;(x) existe et est donné par la formule (*),dans laquelle on fait k = j + 1.
La première partie du présent lemme montre alors que DU+l)'lj; est continue. Nous pouvons
conclure que 7/ J est de classe CP sur V et que ses différentielles jusqu'à l'ordre p sont
données par la formule ( *).
D
Chapitre VIII. Calcul des variations
Nous en déduisons
117/J(x) -7/J(xo)ll = 1b (h(t,x) - h(t,xo)) dt ~ 1bllh(t,x) - h(t,xo)ll dt
é
~ b-a (b-a)=é,
ce qui prouve que 7/ J est continue au point x 0 .
2. Traitons d'abord le cas p = 1. Pour tout x E V, posons
x(x)= 1bDxh(t,x)dt.
D'après le résultat ci-dessus (appliqué à Dxh), x est une application continue de V dans
.C(E, F). Soit x0 E V. Il existe p > 0 tel que tout élément x de E vérifiant llx - xoll ~ p
soit élément de V. Pour un tel élément x, le segment de droite [x0 , x] est contenu dans V,
et (théorème des accroissements finis),
llh(t,x)-h(t,xo)-Dxh(t,xo)(x-xo)ll ~ sup llDxh(t,z)-Dxh(t,xo)ll llx-xoll ·
zE[xo,x]
Mais le lemme 2.1, appliqué à D x h, montre que pour tout é > 0, il existe rJ > 0 tel que,
si z E V vérifie llz - xoll ~ TJ, nous ayons
é
sup llDxh(t, z) - Dxh(t, xo)ll ~ -b - ·
tE[a,b]
- a
Nous pouvons imposer à rJ de vérifier rJ < p. Pour x E V vérifiant llx - xoll < rJ nous
avons alors, pour tout z E [xo, x], llz - xo Il < rJ donc, pour tout t E [a, b],
é
llh(t,x) - h(t,xo) - Dxh(t,xo)(x - xo)ll ~ b- a llx - xoll ·
Nous en déduisons
117/J(x)- 7/J(xo) - x(xo)(x - xo)ll
= 1b (h(t, x) - h(t, xo) - Dxh(t, xo)(x - xo)) dt
~ 1bllh(t,x) -h(t,xo)-Dxh(t,xo)(x - xo)ll dt
é
~ -b - llx - xoll(b- a)= éllx - xoll ·
-a
Ce résultat prouve que 7/ J est différentiable au point x0 et que sa différentielle en ce point
est x(x0 ) Comme nous avons prouvé la continuité de x, l'application 7/ J est de classe C 1 .
Traitons maintenant le cas où p > 1. Soit j un entier vérifiant 1 ~ j < p, et supposons
qu'on ait déjà prouvé que pour tout entier k vérifiant 1 ~ k ~ j, D(k)'lj; existe et soit
continue sur V, et que sa valeur en un point x de V soit donnée par la formule ( *). En
remplaçant h par D~) h et 7/ J par D(Jl7j;, et en procédant exactement comme ci-dessus, on
montre alors que DU) 7/ J est différentiable sur V et que sa différentielle D (DU) 7/J) ( x) en
un point x de V est donnée par la formule
D(D
donc que D(J+l)'lj;(x) existe et est donné par la formule (*),dans laquelle on fait k = j + 1.
La première partie du présent lemme montre alors que DU+l)'lj; est continue. Nous pouvons
conclure que 7/ J est de classe CP sur V et que ses différentielles jusqu'à l'ordre p sont
données par la formule ( *).
D