§ 2. La différentielle de la fonctionnelle de Lagrange
197
Autrement dit, la boule ouverte de centre avons ainsi prouvé que nL est ouvert.
D
2. La différentielle de la fonctionnelle de Lagrange
Nous allons prouver (théorème 2.3) que sous les hypothèses de la définition 1.4, lorsque de
plus le lagrangien Lest de classe CP, avec p ;::: 1, la fonctionnelle de Lagrange L qui lui
est associée est de classe CP sur nL, et nous allons donner l'expression de sa différentielle.
Nous supposerons bien entendu désormais nL non vide. Nous utiliserons le lemme 2.2
ci-après (déjà énoncé en V.2.4.i), qui lui-même repose sur le lemme suivant.
2.1. Lemme. -
Soit K un espace topologique compact, E un espace topologique,
(F, d) un espace métrique et h : K x E ~ F une application. Soit x0 E E. On
suppose que pour toute E K, l'application h est continue au point (0, x0 ). Alors
pour tout € > 0, il existe un voisinage U de x0 dans E tel que, pour tout x E U et
tout t E K, d(h(t,x),h(t,x0 ))::; €.
Preuve: Soit e E K. Puisque h est continue au point (0, x 0 ), il existe un voisinage ouvert
le de 0 dans K et un voisinage Ue de xo dans E tels que pour tous t E le et .'E E Ue,
on ait d(h(t, x), h(O, x0 )) ::; é/2. Lorsque e parcourt K, les le forment un recouvrement
ouvert du compact K, dont nous pouvons extraire un recouvrement fini. Il existe donc une
partie finie { 81, ... , Op} de K telle que LJ~=l le 3 = K. Posons U = n~=l Ue 3 • C'est
l'intersection d'une famille finie de voisinages de x0 , donc un voisinage de x 0 dans E. Soit
x E U et t E K. Il existe alors j (1 ::; j ::; p) tel que t E le 3 , et bien sûr x E U c Uer
Nous avons, puisque (t, x) et (t, x 0 ) sont éléments de le 3 x Ue 3 ,
€
€
d(h(t, x), h(t, x0 )) ::; d(h(t, x), h(Oj, xo)) + d(h(Oj, xo), h(t, xo)) ::; 2 + 2 = €. 0
2.2. Lemme. -
Soient l = [a, b] un intervalle fermé et borné de IR, E et F deux
espaces de Banach, V un ouvert de E et h : l x V ~ F une application continue.
On pose, pour tout x E V,
'lf;(x) = 1b h(t, x) dt.
1. Dans ces hypothèses, l'application ' l/J : V~ F ainsi défi.nie est continue.
2. Soit p un entier ;::: 1. On suppose que pour tout entier k vérifiant 1 ::; k ::; p,
la différentielle partielle d'ordre k de h par rapport à sa seconde variable existe
en tout point ( t, x) de l x V, et on la note n;~) h( t, x). On suppose aussi que les
applications (t,x) ~ n;~)h(t,x), pour 1::; k::; p, sont toutes continues sur lx V.
Alors l'application ' l /J est différentiable de classe CP sur V, et pour tout entier k
vérifiant 1 ::; k::; p, sa différentielle d'ordre ken un point x de V a pour expression
D(k)'lf;(x)= 1bn;~)h(t,x)dt.
(*)
Preuve:
1. Soit x 0 E V. L'intervalle [a, b] étant compact et l'application h continue, le lemme
précédent montre que pour tout € > 0, il existe 'f/ > 0 tel que, pour tout x E V vérifiant
llx - xoll ::; ' fJ et tout t E [a, b], nous ayons
€
llh(t,x)- h(t,xo)ll::; b- a.
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Autrement dit, la boule ouverte de centre avons ainsi prouvé que nL est ouvert.
D
2. La différentielle de la fonctionnelle de Lagrange
Nous allons prouver (théorème 2.3) que sous les hypothèses de la définition 1.4, lorsque de
plus le lagrangien Lest de classe CP, avec p ;::: 1, la fonctionnelle de Lagrange L qui lui
est associée est de classe CP sur nL, et nous allons donner l'expression de sa différentielle.
Nous supposerons bien entendu désormais nL non vide. Nous utiliserons le lemme 2.2
ci-après (déjà énoncé en V.2.4.i), qui lui-même repose sur le lemme suivant.
2.1. Lemme. -
Soit K un espace topologique compact, E un espace topologique,
(F, d) un espace métrique et h : K x E ~ F une application. Soit x0 E E. On
suppose que pour toute E K, l'application h est continue au point (0, x0 ). Alors
pour tout € > 0, il existe un voisinage U de x0 dans E tel que, pour tout x E U et
tout t E K, d(h(t,x),h(t,x0 ))::; €.
Preuve: Soit e E K. Puisque h est continue au point (0, x 0 ), il existe un voisinage ouvert
le de 0 dans K et un voisinage Ue de xo dans E tels que pour tous t E le et .'E E Ue,
on ait d(h(t, x), h(O, x0 )) ::; é/2. Lorsque e parcourt K, les le forment un recouvrement
ouvert du compact K, dont nous pouvons extraire un recouvrement fini. Il existe donc une
partie finie { 81, ... , Op} de K telle que LJ~=l le 3 = K. Posons U = n~=l Ue 3 • C'est
l'intersection d'une famille finie de voisinages de x0 , donc un voisinage de x 0 dans E. Soit
x E U et t E K. Il existe alors j (1 ::; j ::; p) tel que t E le 3 , et bien sûr x E U c Uer
Nous avons, puisque (t, x) et (t, x 0 ) sont éléments de le 3 x Ue 3 ,
€
€
d(h(t, x), h(t, x0 )) ::; d(h(t, x), h(Oj, xo)) + d(h(Oj, xo), h(t, xo)) ::; 2 + 2 = €. 0
2.2. Lemme. -
Soient l = [a, b] un intervalle fermé et borné de IR, E et F deux
espaces de Banach, V un ouvert de E et h : l x V ~ F une application continue.
On pose, pour tout x E V,
'lf;(x) = 1b h(t, x) dt.
1. Dans ces hypothèses, l'application ' l/J : V~ F ainsi défi.nie est continue.
2. Soit p un entier ;::: 1. On suppose que pour tout entier k vérifiant 1 ::; k ::; p,
la différentielle partielle d'ordre k de h par rapport à sa seconde variable existe
en tout point ( t, x) de l x V, et on la note n;~) h( t, x). On suppose aussi que les
applications (t,x) ~ n;~)h(t,x), pour 1::; k::; p, sont toutes continues sur lx V.
Alors l'application ' l /J est différentiable de classe CP sur V, et pour tout entier k
vérifiant 1 ::; k::; p, sa différentielle d'ordre ken un point x de V a pour expression
D(k)'lf;(x)= 1bn;~)h(t,x)dt.
(*)
Preuve:
1. Soit x 0 E V. L'intervalle [a, b] étant compact et l'application h continue, le lemme
précédent montre que pour tout € > 0, il existe 'f/ > 0 tel que, pour tout x E V vérifiant
llx - xoll ::; ' fJ et tout t E [a, b], nous ayons
€
llh(t,x)- h(t,xo)ll::; b- a.