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Chapitre VIII. Calcul des variations
L'application cp 1-t ll'Pllc1 est une norme sur ci(!, E). Muni de cette norme,
ci ( I, E) est un espace de Banach.
Preuve : Il est facile de vérifier que ci (I, E) est un espace vectoriel et que cp 1-t ll'Pllc1
est une norme sur cet espace. Montrons que muni de cette norme, ci(!, E) est complet.
Remarquons d'abord que pour tout cp E ci ( I, E), nous avons
supllcp(t)ll ~ ll'Pllc1'
supllcp'(t)ll ~ ll'Pllc 1 ·
tE/
tE/
Soit ( 'Pn, n E N) une suite de Cauchy dans ci (I, E). D'après ce qui précède, les suites
( 'Pn , n E N) et ( cp~ , n E N) sont de Cauchy pour la norme de la convergence uniforme
sur I. Elles convergent donc uniformément vers des applications continues de I dans E
(voir par exemple [T.VIII.1.8)), notées respectivement cp et 'I/;. D'après le théorème I.5.8, cp
est de classe ci sur ] a, b[ , et sa dérivée, en tout point t de cet intervalle, est cp' ( t) = 'l/; ( t).
Comme 'l/; est continue sur I, les limites limt-+a, t>a cp' ( t) et limt-+b, t sont égales, respectivement, à 'l/;(a) et 'l/;(b). L'application cp est donc de classe ci sur I
au sens de la définition 1.1. Puisque la suite ( 'Pn , n E N) est de Cauchy, pour tout ê > 0,
il existe N E N tel que, sin 2 Net m 2 N, ll'Pn - 'Pmllc1 ~ €.En faisant tendre m
vers +oo, nous en déduisons que pour tout n 2 N, ll'Pn - cpllc1 ~€.Cela prouve que la
suite ( 'Pn , n E N) converge vers cp au sens de la norme dont est muni l'espace ci ( I, E).
Nous concluons donc que cet espace est complet.
D
1.4. Définitions. - Soient I = [a, b] un intervalle fermé et borné de IR, E un espace
de Banach, U un ouvert de IR x E x E et L : U - IR une application continue
(souvent appelée fonction de Lagrange ou lagrangien).
On appelle courbe L-admissible une application cp de I dans E, de classe ci sur I,
telle que pour tout t E I, (t, cp(t), cp'(t)) soit élément de U. L'ensemble des courbes
L-admissibles est noté fk.
On appelle fonctionnelle de Lagrange associée au lagrangien L l'application
être intégrée sur l'intervalle fermé borné [a, b].
Le lemme qui suit montre que la fonctionnelle de Lagrange est définie sur un ouvert de
ci(!, E).
1.5. Lemme. -
Avec les hypothèses et notations de la définition 1.4, l'ensemble
OL des courbes L-admissibles est un ouvert de l'espace de Banach ci(!, E).
Preuve : Si OL est vide, il est bien sOr ouvert. Supposons le non vide et montrons qu'il
est voisinage de chacun de ses éléments. Soit cp E 0 L. L'application de l x ci ( l, E)
dans IR x E x E, ( t, 'l/;) 1-t ( t, 'l/; ( t), ' l/J' ( t)), est continue car ses trois composantes le sont.
Pour chaque t E I, U est voisinage de (t, cp(t), cp'(t)), donc il existe un intervalle ouvert
Jt contenant t et un réel r t > 0 tels que pour tous s E Jt et 'l/; E ci ( I, E) vérifiant
11' 1/J - cpllc1
{ Ut 1' Ut 2 , ••• , Utn } . Soit r = inf ( r tp r t 2 , ••• , r t,.). Nous voyons alors que pour tout
'l/; E ci(I,E) vérifiant 11'1/J- cpllc1 < r ettout t El, (t,'l/;(t),'l/;'(t)) est élément de U.
Chapitre VIII. Calcul des variations
L'application cp 1-t ll'Pllc1 est une norme sur ci(!, E). Muni de cette norme,
ci ( I, E) est un espace de Banach.
Preuve : Il est facile de vérifier que ci (I, E) est un espace vectoriel et que cp 1-t ll'Pllc1
est une norme sur cet espace. Montrons que muni de cette norme, ci(!, E) est complet.
Remarquons d'abord que pour tout cp E ci ( I, E), nous avons
supllcp(t)ll ~ ll'Pllc1'
supllcp'(t)ll ~ ll'Pllc 1 ·
tE/
tE/
Soit ( 'Pn, n E N) une suite de Cauchy dans ci (I, E). D'après ce qui précède, les suites
( 'Pn , n E N) et ( cp~ , n E N) sont de Cauchy pour la norme de la convergence uniforme
sur I. Elles convergent donc uniformément vers des applications continues de I dans E
(voir par exemple [T.VIII.1.8)), notées respectivement cp et 'I/;. D'après le théorème I.5.8, cp
est de classe ci sur ] a, b[ , et sa dérivée, en tout point t de cet intervalle, est cp' ( t) = 'l/; ( t).
Comme 'l/; est continue sur I, les limites limt-+a, t>a cp' ( t) et limt-+b, t sont égales, respectivement, à 'l/;(a) et 'l/;(b). L'application cp est donc de classe ci sur I
au sens de la définition 1.1. Puisque la suite ( 'Pn , n E N) est de Cauchy, pour tout ê > 0,
il existe N E N tel que, sin 2 Net m 2 N, ll'Pn - 'Pmllc1 ~ €.En faisant tendre m
vers +oo, nous en déduisons que pour tout n 2 N, ll'Pn - cpllc1 ~€.Cela prouve que la
suite ( 'Pn , n E N) converge vers cp au sens de la norme dont est muni l'espace ci ( I, E).
Nous concluons donc que cet espace est complet.
D
1.4. Définitions. - Soient I = [a, b] un intervalle fermé et borné de IR, E un espace
de Banach, U un ouvert de IR x E x E et L : U - IR une application continue
(souvent appelée fonction de Lagrange ou lagrangien).
On appelle courbe L-admissible une application cp de I dans E, de classe ci sur I,
telle que pour tout t E I, (t, cp(t), cp'(t)) soit élément de U. L'ensemble des courbes
L-admissibles est noté fk.
On appelle fonctionnelle de Lagrange associée au lagrangien L l'application
être intégrée sur l'intervalle fermé borné [a, b].
Le lemme qui suit montre que la fonctionnelle de Lagrange est définie sur un ouvert de
ci(!, E).
1.5. Lemme. -
Avec les hypothèses et notations de la définition 1.4, l'ensemble
OL des courbes L-admissibles est un ouvert de l'espace de Banach ci(!, E).
Preuve : Si OL est vide, il est bien sOr ouvert. Supposons le non vide et montrons qu'il
est voisinage de chacun de ses éléments. Soit cp E 0 L. L'application de l x ci ( l, E)
dans IR x E x E, ( t, 'l/;) 1-t ( t, 'l/; ( t), ' l/J' ( t)), est continue car ses trois composantes le sont.
Pour chaque t E I, U est voisinage de (t, cp(t), cp'(t)), donc il existe un intervalle ouvert
Jt contenant t et un réel r t > 0 tels que pour tous s E Jt et 'l/; E ci ( I, E) vérifiant
11' 1/J - cpllc1
{ Ut 1' Ut 2 , ••• , Utn } . Soit r = inf ( r tp r t 2 , ••• , r t,.). Nous voyons alors que pour tout
'l/; E ci(I,E) vérifiant 11'1/J- cpllc1 < r ettout t El, (t,'l/;(t),'l/;'(t)) est élément de U.