Chapitre VIII
Calcul des variations
Le calcul des variations se propose de déterminer les extréma de certaines fonctions définies
sur des espaces d'applications d'un ensemble dans un autre, traditionnellement appelées
fonctionnelles (car la variable dont elles dépendent est une application, aussi appelée
fonction). Nous ne traiterons ici que le cas de fonctionnelles définies sur un espace de
courbes paramétrées, c'est-à-dire d'applications définies sur un intervalle de lR et à valeurs
dans un espace de Banach.
L'importance du calcul des variations est liée à ses applications à la Mécanique et à la
Physique. De plus, nous y trouverons l'occasion d'illustrer les résultats des chapitres
précédents en étudiant un exemple de fonction différentiable définie sur un espace de
Banach de dimension infinie (l'espace des courbes paramétrées de classe ci), et nous
verrons comment la recherche d'un extremum peut conduire à des équations différentielles.
1. L'espace des courbes de classe ci
Nous nous sommes intéressés jusqu'à présent aux applications différentiables de classe
ci définies sur un intervalle ouvert de R Nous allons maintenant devoir considérer des
applications définies sur un intervalle fermé et borné. C'est pourquoi nous introduisons la
définition suivante.
1.1. Définition. - Soit I = [a, b] un intervalle fermé et borné de IR, et E un espace
de Banach. Une application cp : I ---+ E sera dite de classe ci sur I si elle est
continues sur I, de classe ci (au sens usuel I.1. 7) sur l'intérieur ]a, b[ de I, et si
les limites
lim cp' ( t) et
lim cp' ( t)
t-->a, t>a
t-->b, t
de cp aux points a et b, et notées cp'(a) et cp'(b).
Les applications de classe ci de I dans E seront appelées courbes paramétrées de
classe ci définies sur I et à valeurs dans E, ou plus simplement courbes de classe
ci, et leur ensemble sera noté C 1 ( I, E).
1.2. Remarques. - Dans les hypothèses de la définition 1.1, il est facile de montrer (par
un raisonnement analogue à celui fait dans la solution de l'exercice 13 du chapitre 1) que
cp' (a) et cp' ( b) sont égales, respectivement, à la dérivée à droite de cp au point a et à la
dérivée à gauche de cp au point b (1.1.6.c ).
D'autre part, pour tout entier p 2: 1, on peut définir de même les applications de classe CP
de I dans E.
1.3. Proposition. -
Soit I = [a, b] un intervalle fermé et borné de IR, et E un
espace de Banach. Pour toute application cp E ci ( I, E), posons
ll'Pllc1 = supllcp(t)ll + supllcp'(t)ll ·
tE/
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Calcul des variations
Le calcul des variations se propose de déterminer les extréma de certaines fonctions définies
sur des espaces d'applications d'un ensemble dans un autre, traditionnellement appelées
fonctionnelles (car la variable dont elles dépendent est une application, aussi appelée
fonction). Nous ne traiterons ici que le cas de fonctionnelles définies sur un espace de
courbes paramétrées, c'est-à-dire d'applications définies sur un intervalle de lR et à valeurs
dans un espace de Banach.
L'importance du calcul des variations est liée à ses applications à la Mécanique et à la
Physique. De plus, nous y trouverons l'occasion d'illustrer les résultats des chapitres
précédents en étudiant un exemple de fonction différentiable définie sur un espace de
Banach de dimension infinie (l'espace des courbes paramétrées de classe ci), et nous
verrons comment la recherche d'un extremum peut conduire à des équations différentielles.
1. L'espace des courbes de classe ci
Nous nous sommes intéressés jusqu'à présent aux applications différentiables de classe
ci définies sur un intervalle ouvert de R Nous allons maintenant devoir considérer des
applications définies sur un intervalle fermé et borné. C'est pourquoi nous introduisons la
définition suivante.
1.1. Définition. - Soit I = [a, b] un intervalle fermé et borné de IR, et E un espace
de Banach. Une application cp : I ---+ E sera dite de classe ci sur I si elle est
continues sur I, de classe ci (au sens usuel I.1. 7) sur l'intérieur ]a, b[ de I, et si
les limites
lim cp' ( t) et
lim cp' ( t)
t-->a, t>a
t-->b, t
de cp aux points a et b, et notées cp'(a) et cp'(b).
Les applications de classe ci de I dans E seront appelées courbes paramétrées de
classe ci définies sur I et à valeurs dans E, ou plus simplement courbes de classe
ci, et leur ensemble sera noté C 1 ( I, E).
1.2. Remarques. - Dans les hypothèses de la définition 1.1, il est facile de montrer (par
un raisonnement analogue à celui fait dans la solution de l'exercice 13 du chapitre 1) que
cp' (a) et cp' ( b) sont égales, respectivement, à la dérivée à droite de cp au point a et à la
dérivée à gauche de cp au point b (1.1.6.c ).
D'autre part, pour tout entier p 2: 1, on peut définir de même les applications de classe CP
de I dans E.
1.3. Proposition. -
Soit I = [a, b] un intervalle fermé et borné de IR, et E un
espace de Banach. Pour toute application cp E ci ( I, E), posons
ll'Pllc1 = supllcp(t)ll + supllcp'(t)ll ·
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