194
Chapitre VII. Équations différentielles linéaires
Les applications A et b sont continues sur J. Soit (xo, yo) E IR 2 . Le théorème 1 prouve alors l'existence d'une
unique solution maximale 4> de ( * ), définie sur J, et satisfaisant la donnée de Cauchy ( 0, (xo, yo)). Il lui
correspond une unique solution maximale r.p de (1), également définie sur l, telle que r.p(O) = xo, r.p' (0) = yo.
2) L'équation différentielle du premier ordre, sous forme canonique, associée à l'équation (2) est l'équation
linéaire et homogène
X'(t) = A(t) X(t).
Soient r.p1 et r.p2 deux solutions maximales de (2). Pour tout t E J, on note U(t) l'endomorphisme de IR 2 ayant
pour expression (lorsqu'on convient de l'identifier à sa matrice),
U(t)-(r.p1(t) r.p2(t))
-
r.p~ (t) r.p~(t) .
On remarque que U(t) est inversible si et seulement si W(t) = r.p1 (t)r.p~(t) - r.p2(t)r.p~ (t) n'est pas nul. Par un
raisonnement analogue à celui fait dans lexercice 1, on montre que les propriétés suivantes sont équivalentes :
- les solutions r.p1 et r.p2 sont linéairement dépendantes,
- il existe t E I tel que U(t) ne soit pas inversible,
- pour tout t E J, U(t) n'est pas inversible.
On en déduit immédiatement que les propriétés (i), (ii) et (iii) de lénoncé sont équaivalentes.
3) On suppose désormais que r.p1 et r.p2 sont linéairement indépendantes. Soit r.p la solution maximale de (1) qui
vérifie r.p(O) = r.p' (0) = O. Montrons l'existence de deux fonctions .X1 et .X2, de classe C 1 sur I, telles que,
pour tout t E I
{
.X1(t)r.p1(t) + .X2(t)r.p2(t) = r.p(t)'
.X1 (t)r.p~ (t) + .X2(t)r.p~(t) = r.p 1 (t).
C'est un système linéaire de deux équations à deux inconnues À1 (t), .X2(t), dont le déterminant W(t) est non
nul. Il admet donc une unique solution, qui a pour expression
À (t) = r.p(t)r.p~(t) - r.p2(t)r.p'(t)
1
W(t)
'
À (t) = 'Pl (t)r.p' (t) - r.p(t)r.p~ (t) .
2
W(t)
Les applications r.p1, r.p2, r.p étant de classe C 2 , les applications .X1 et .X2 ainsi définies sont de classe C 1 sur I.
De plus, on a l'égalité .X~ r.p1 + .X~r.p2 = 0, obtenue par dérivation de r.p = .X1 r.p1 + .X2r.p2, compte tenu de r.p' =
.X1 r.p~ + .X2r.p~. De légalité r.p' = À1 r.p~ + .X2r.p~ on tire, par dérivation, r.p 11 = .X~ r.p~ + .X~r.p~ + .X1 r.p~ + .X2r.p~.
Mais r.p est solution de (1), r.p1 et r.p2 sont solutions de (2), .X1(t), .X2(t) vérifient donc le système
{
À~ (t)r.p1 (t) + .X~(t)r.p2(t) = 0'
À~ (t)r.p~ (t) + .X~(t)r.p~(t) = ;g~ '
qui admet pour solution
.X' (t) = - r.p2(t)f(t)
1
W(t)p(t) '
.X' (t) = - r.p1(t)j(t).
2
W(t)p(t)
Mais r.p(O) = r.p' (0) = 0 entraîne .X1 (0) = .X2 (0) = 0, d'où finalement
.X1 (t) = -1t r.p2(u)f(u) du' .X~(t) = -1t 'Pl (u)f(u) du.
0 W(u)p(u)
0 W(u)p(u)
4) La solution r.p = .X1 r.p1 + .X2r.p2 de l'équation (1) précédemment trouvée vérifie de plus r.p(l) = r.p' (1) = 0
si et seulement si
{
.X1(l)r.p1(l) + .X2(l)r.p2(l) = 0,
À1 (l)r.p~ (1) + .X2(l)r.p~(l) = 0.
Puisque W(l) =1- 0, ce système admet pour unique solution .X1 (1) = .X2(l) =O. L'équation (1) possède donc
une solution r.p vérifiant r.p(O) = r.p'(O) = 0 et r.p(l) = r.p'(l) = 0 si et seulement si
1
1 'Pl (t)j(t) dt= 11 r.p2(t)f(t) dt= 0.
0 W(t)p(t)
0 W(t)p(t)